师：同学们好，请准备好纸和笔，下面开始今天的数学课堂。在前几节课中，我们学习了第十六章二次根式，本节课我们将对本章进行复习和总结。
首先，我们来看本章的章节安排。本章共分两节，第一节是二次根式，第二节是二次根式的运算。接下来，我们用知识框架图的形式，看看本章的学习脉络。本章从前面所学的开平方得到二次根式的概念，然后学习了二次根式的概念与性质，以及二次根式的运算。在运算中，主要学习了乘除运算和加减运算。
下面，我将从四个方面对本章内容做梳理。
第一个梳理，三个概念。主要梳理二次根式、最简二次根式、同类二次根式这三个概念。
二次根式是指一般形如$\sqrt{a}$（$a\geq0$）的式子。判断一个式子是不是二次根式，要从两个角度考虑：一是是否带有二次根号，二是被开方数是不是非负数。被开方数$a\geq0$，既是二次根式的限制条件，也是其隐含条件。也就是说，判断一个式子是不是二次根式，要看$a$是否大于等于0 。另外，如果已知$\sqrt{a}$是二次根式，那就说明$a\geq0$。因为$a$是非负数，所以它的算术平方根也是非负数，即$\sqrt{a}\geq0$。像这样具有非负性的式子，还有前面学过的$\vert b\vert$、$c^{2}$等形式。
下面通过几个例题巩固二次根式的概念。
例一：当$x$满足什么条件时，二次根式$\sqrt{3 - x}$有意义？根据定义，被开方数需大于等于0，可得到不等式$3 - x\geq0$，解得$x\leq3$。所以，当$x\leq3$时，二次根式$\sqrt{3 - x}$有意义。
例二：已知$\sqrt{a - 4} + \sqrt{4 - a} + 1 = b$，求$a$与$b$的积。在这个等式中，根据二次根式定义，被开方数必须大于等于0 。这里有两个二次根式，被开方数分别是$a - 4$和$4 - a$，所以由二次根式定义可得$a - 4\geq0$且$4 - a\geq0$，由此可知$a$只能等于4。此时可算出$b = 1$，那么$a$与$b$的乘积为4。第一题中被开方数为非负数是作为限制条件出现，第二题中被开方数为非负数是作为隐含条件出现。
继续看例三：已知$x$，$y$为实数，且$\sqrt{x - 1} + (y - 2)^{2} = 0$，求$x - y$的值。注意这个等式，右边是0，左边$\sqrt{x - 1}$是非负数，$(y - 2)^{2}$也是非负数，两个非负数的和为0，那它们必须都为0 。利用这个非负性可得：$\sqrt{x - 1} = 0$，$(y - 2)^{2} = 0$，解得$x = 1$，$y = 2$，所以$x - y$的值为$-1$，本题答案选D。
下面看第二个概念，最简二次根式。满足下面两个条件的二次根式才是最简二次根式：一是被开方数不含分母，二是被开方数中不能含开得尽方的因数或因式。这里的关键词是因数或者因式。
比如这样一道题：下列几个二次根式中，是最简二次根式的有几个？我们紧扣上面两个条件判断。$\sqrt{5}$，5既不含分母，也没有开得尽方的因数或因式，所以它是最简二次根式；$\sqrt{\frac{1}{3}}$，$\frac{1}{3}$是分数，含有分母，不是最简二次根式；$\sqrt{0.3a}$，$0.3$是小数，可化为分数，所以它也不是最简二次根式；$\sqrt{a^{2} + b^{2}}$，虽然有平方，但$a^{2}$与$b^{2}$是以和的形式，且不能再分解因式，找不到含开得尽方的因数或因式，所以它是最简二次根式；$\sqrt{m^{3}}$可写成$m^{2}\times m$，$m^{2}$是开得尽方的因式，所以它不是最简二次根式。综上，最简二次根式只有$\sqrt{5}$和$\sqrt{a^{2} + b^{2}}$，答案选A。
我们继续看第三个概念，同类二次根式。几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这样的二次根式就是同类二次根式。从定义可知，判断两个或几个二次根式是不是同类二次根式，首先要化成最简二次根式，再观察它们的被开方数是否相同。
比如例5：下列二次根式中，与$\sqrt{3}$是同类二次根式的是？$\sqrt{3}$本身就是最简二次根式，判断下面哪些是它的同类二次根式，需先对它们化简。选项A，$\sqrt{6}$已是最简二次根式；选项B，$\sqrt{9} = 3$；选项C，$\sqrt{18} = 3\sqrt{2}$；选项D，$\sqrt{27} = 3\sqrt{3}$。通过观察，与$\sqrt{3}$是同类二次根式的是D，因为D化简后是$3\sqrt{3}$的形式，所以本题答案选D。
好，刚才梳理了本章三个重要概念，下面进入第二个理解，四个性质。在屏幕左侧，我给大家梳理了本章涉及的四个性质。相信大家都很熟悉，其中第三个性质和第四个性质实际上是二次根式的乘法运算和除法运算法则。对于这四个性质，提醒大家三点：
一、关注字母的取值范围。比如对于第一个性质，因为$a$作为被开方数，必须$a\geq0$，否则无意义；对于性质二，由于被开方数是$a^{2}$，所以$a$可以取任意数；对于性质三，$a$和$b$分别作为二次根式的被开方数，所以$a\geq0$，$b\geq0$；特别注意性质四，$b$作为二次根式的被开方数且整个$\sqrt{b}$是分母，所以$b\gt0$，即$a\geq0$，$b\gt0$。大家对这些字母取值范围要心中有数。
二、我给出两个等式，前面我们知道$\sqrt{a}\times\sqrt{b} = \sqrt{ab}$，$\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}}$，那么$\sqrt{a} + \sqrt{b} = \sqrt{a + b}$吗？$\sqrt{a} - \sqrt{b} = \sqrt{a - b}$吗？大家思考一下。
说明这两个等式是否正确，有两种方式。第一种取特殊值，比如第一个式子，令$a = 4$，$b = 9$，左边$2 + 3 = 5$，右边$\sqrt{13}$，显然$5\neq\sqrt{13}$，所以它是错误的。第二个等式也可用这种方法。
第二种用运算方法，对$\sqrt{a} + \sqrt{b}$左边平方，结果是$a + b + 2\sqrt{ab}$，右边平方后是$a + b$。计算可知左右两边平方结果不相等，且左右两边都是正数或0，平方不相等，底数肯定也不相等。所以，无论是取特殊值还是代数运算的方法，都能说明这两个等式是错误的，大家计算时要防止出现这类错误。
三、重视性质的逆运用。根据等式的对称性，若$a = b$，那么$b = a$，所以这些等式都可倒过来用。课本上，性质3和性质4得到$\sqrt{ab} = \sqrt{a}\times\sqrt{b}$（$a\geq0$，$b\geq0$），$\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$（$a\geq0$，$b\gt0$），这两个性质是二次根式化简的重要依据。
那么性质一、性质二逆运用后是什么形式呢？先看性质一，倒过来写成$a = (\sqrt{a})^{2}$，这个等式成立的前提是$a\geq0$。若$a$是负数，不妨写成$a = -(-a)$，此时$-a$是正数，根据前面内容，可写成$a = -(\sqrt{-a})^{2}$。
再看性质二，同样分$a\geq0$和$a\lt0$两种情况。当$a\geq0$时，$a = \sqrt{a^{2}}$；当$a\lt0$时，$a = -(-a)$，因为$a$是负数，所以$-a$是正数，可写成$a = - \sqrt{(-a)^{2}}$，又因为互为相反数的偶次幂相等，所以$a = - \sqrt{a^{2}}$。从前面等式也能看出，当$a\lt0$时，$-a = \sqrt{a^{2}}$，变形后$a = - \sqrt{a^{2}}$。这样的变形在后面一元二次方程学习中经常用到，希望大家重视。