师：同学们，大家好，欢迎走进今天的数学课堂。本节课我们一起学习第十五章分式小结的第一课时。首先，我们来看一下本章的知识结构图。本章从实际问题出发，引出分式及分式方程，通过类比分式与分数的相关知识点，学习了分式的概念、基本性质、运算以及分式方程的概念、解法和应用，加深了对划归思想和数学建模思想的认识。在这个学习过程中，分式和分式方程是本章的核心内容。
本节课我们主要从分式的概念、基本性质和运算这三方面进行复习。
先回顾分式的概念，一般地，当(a)、(b)表示两个整式，并且(b)中含有字母，那么式子(\frac{a}{b})叫做分式，例如(\frac{1}{x})、(\frac{2}{a})等等都叫分式。我们来看个例题，当(x)满足什么条件时，分式(\frac{x}{3x - 1})有意义？
类比分式有意义的条件，我们知道当分母(b\neq0)时，分式(\frac{a}{b})有意义。此时分母(3x - 1\neq0)，因此可解得(x\neq\frac{1}{3})。我们再看一道题，当(x)满足什么条件时，分式(\frac{x}{3x - 1})的值为(0)？在类比分式的值为(0)的条件时，还要兼顾分式有意义。所以当分子(a = 0)，且分母(b\neq0)时，分式(\frac{a}{b})的值为(0)。这道题中分子(x = 0)，分母(3x - 1\neq0)，所以解得当(x = 0)时，满足题意。我们来总结一下此类题型的解法策略：当(b\neq0)时，分式(\frac{a}{b})有意义；当(b = 0)时，分式(\frac{a}{b})无意义；当(a = 0)且(b\neq0)时，分式(\frac{a}{b})的值为(0)。
下面我们复习分式的基本性质。分式的分子与分母乘或除以同一个不等于(0)的整式，分式的值不变。用符号语言表示为(\frac{a}{b}=\frac{ac}{bc})，或者(\frac{a}{b}=\frac{a÷c}{b÷c})，其中(a)、(b)、(c)均为整式，且(c\neq0)。我们来看这个选择题：若把分式(\frac{2x}{x - y})中的(x)、(y)都扩大(5)倍，那么分式的值会发生怎样的变化呢？
我们审题发现(x)、(y)都扩大(5)倍，所以要用(5x)和(5y)替换原式中的(x)和(y)，再进行约分，化为最简分式，我们发现化出的结果与原分式相同，所以此题选(C)。在这个计算过程中，约分的理论依据是什么呢？
生：约分的理论依据是分式的基本性质。
师：对，非常好。我们一起来做个练习，不改变分式的值，使分式(\frac{0.6 - 0.4x}{\frac{4}{5} - \frac{2}{15}x})的分子分母的最高次项的系数为正整数。
通过观察我们发现分式的分子与分母的系数分别为小数和分数。要想使得系数化为正整数，那就需要找到各个系数的最小公倍数。我们先把分子的(0.6)和(0.4)看作(\frac{3}{5})与(\frac{2}{5})，那么这四个系数的最小公倍数就是(15)。因此我们对原分式的上下同时乘以(15)并化简便可得到分式(\frac{12x - 9}{2x - 6})。
分式的基本性质除了应用于约分，还可用于哪些地方呢？
生：我们在进行分式的通分时，体现的也是分式的基本性质。
师：对，那我们一起来回顾一下关于分式的约分与通分。把一个分式的分子与分母的公因式约去叫做分式的约分。在约分时，要注意分式的分子与分母是多项式，并且当它可以因式分解时，应该先因式分解，然后再约分。而分式的通分，是把几个异分母的分式转化为同分母的分式。同样的，同学们在进行分式的通分时要注意，通分的关键是找出最简公分母，也就是各个分母的所有因式的最高次幂的乘积。我们再来看一道练习题，下面各式正确的是哪一项？
师：我们一起来分析一下。(A)选项等号左边分子分母需要同时减去(a)才能得到等式的右边，但是它并不符合我们分式的基本性质，所以(A)选项错了。(B)选项等号左边的分子分母分别是(1 + ab)和(1 - ac)，而(a)并不是分子分母的公因式，不能同时除以(a)，所以(B)选项错了。(C)选项，我们发现当分式的分子与分母完全相同时，它们可以约分，但是约分的结果是(1)而不是(0)，所以(C)选项也错了。通过排除法，我们可以得到(D)选项。(D)选项等号左边的分母(a2 - b2)可以进行因式分解，然后再与分子进行约分，恰好等于等号的右边，所以此题选(D)。下面我们进入分式运算的专题，我们一起来看这道计算题：(\frac{-4n}{3m}÷\frac{a}{6m2})，这是两个分式的除法运算。我们先来回顾一下分式乘除法的运算法则。分式乘法的运算法则：两个分式相乘，分母的积作为积的分母，分子的积作为积的分子。用符号语言表示为(\frac{a}{b}×\frac{c}{d}=\frac{ac}{bd})，其中(b)、(d)的乘积不等于(0)。而分式的除法运算，两个分式相除，把除式的分子分母颠倒位置后再与被除数相除。同样用符号语言表示为(\frac{a}{b}÷\frac{c}{d}=\frac{a}{b}×\frac{d}{c}=\frac{ad}{bc})，其中(b)、(c)、(d)的乘积不能等于(0)。
那么这道题要根据分式除法的法则，先将除式(\frac{a}{6m2})的分子与分母颠倒位置，再与被除式(\frac{-4n}{3m})相乘，然后约分将结果化为最简分式，我们得到最后的结果为(-\frac{8mn}{a})。同学们，你们做对了吗？同学们一定要注意约分，我们一定要将最后的结果化为最简分式或者是整式。我们再来看这道计算题。这个属于两个分式的加减运算，我们要首先判断它是属于同分母分式相加减还是异分母分式相加减。本题通过观察我们发现它们的分母分别是(a - b)与(b - a)，是互为相反数的。那么根据代数式的符号法则，我们可以将它原式变形转化为同分母分式相加减。再根据同分母分式加减法的运算法则，分母不变分子相加减计算可得原式化简为同分母分式的减法运算。分母不变分子相加减，再将分子中的(a2 - b2)进行因式分解，并与分母的(a - b)进行约分，最后我们便可得到结果(a + b)。
我们再看异分母的两个分式的加减运算。异分母分式相加减，我们需要先通分化为同分母分式相加减。用符号语言表示为(\frac{a}{b}±\frac{c}{d}=\frac{ad}{bd}±\frac{bc}{bd}=\frac{ad ± bc}{bd})。我们发现通分的依据是分式的基本性质，而通分的关键是如何准确地找出最简公分母。
那么这道题我们要选择先将前面的分母(x2 - 4)进行因式分解，从而找到我们的最简公分母为((x + 2)(x - 2))。再将第二个分式的分子分母同时乘以((x + 2))，便可转化为同分母分式的减法运算。进一步计算要注意分子是多项式时一定要加括号，然后进行化简约分，我们得出最后结果为(\frac{x + 1}{2})。