师：亲爱的同学，你好，很高兴能和你一起分享今天的数学课堂。上课前，请准备好上海科学技术出版社九年级上册数学课本，以及本节课配套的学习任务单和学习用品。现在，我们开始上课。
经过前面的学习，我们能根据二次函数(y = ax2 + bx + c)的解析式，明确它的图像与性质。那么反过来，根据抛物线的图像与性质，能否推导出二次函数的解析式呢？请同学们思考一下，在解决函数解析式时，我们以往有哪些经验？
比如说，已知一次函数的图像经过点((3,5))与(( - 4, - 9))，求这个一次函数的表达式。我们可以设该一次函数的表达式为(y = kx + b)，因为一次函数图像经过这两点，所以可得到二元一次方程组(\begin{cases}3k + b = 5 \ - 4k + b = - 9 \end{cases})。解这个方程组，可得(k = 2)，(b = - 1)。所以该一次函数的表达式为(y = 2x - 1)。
由此可知，当给出一组一次函数图像上的两点坐标时，就能求出这个一次函数的表达式。那么对于二次函数的表达式，一般有什么形式？需要什么条件才能求出它的表达式呢？
二次函数的表达式一般有一般形式(y = ax2 + bx + c)。我们可以利用二次函数图像上不同三点的已知坐标，得出二次函数的表达式。
二次函数的表达式还有顶点式(y = a(x + h)2 + k)。我们可以借助二次函数图像上的顶点坐标、对称轴或最值等相关信息，得出二次函数的表达式。
比如说，已知一个二次函数的图像经过(( - 1,10))、((1,4))、((2,7))这三个点，该如何求出这个二次函数的表达式呢？同学们可以先思考，是选用顶点式还是一般式？因为这三个点未涉及顶点、对称轴或最值等相关信息，所以我们选用一般形式。设该二次函数的表达式为(y = ax2 + bx + c)。
因为函数图像经过这三个点，所以可得到一个三元一次方程组(\begin{cases}a - b + c = 10 \ a + b + c = 4 \ 4a + 2b + c = 7 \end{cases})。解这个方程组，可得(a = 2)，(b = - 3)，(c = 5)。所以该二次函数的表达式为(y = 2x2 - 3x + 5)。
请同学们思考一下，若已知二次函数图像上任意不同三点的坐标，我们通常设所求二次函数的表达式为一般式(y = ax2 + bx + c)。实际上，对于不同三组的函数值，我们也可以用同样的思路与方法。
比如，有一个二次函数，当(x = 0)时，(y = - 1)；当(x = - 2)时，(y = 0)；当(x = \frac{1}{2})时，(y = 0)。那么，该如何求出这个二次函数的表达式呢？同学们思考一下，我们是选用一般式还是顶点式？由于没有明显的对称轴或顶点信息，我们选用一般形式，设该二次函数的表达式为(y = ax2 + bx + c)。
将(x = 0)，(y = - 1)；(x = - 2)，(y = 0)；(x = \frac{1}{2})，(y = 0)分别代入所设函数表达式，可得到关于(a)、(b)、(c)的三元一次方程组(\begin{cases}c = - 1 \ 4a - 2b + c = 0 \ \frac{1}{4}a + \frac{1}{2}b + c = 0 \end{cases})。解这个方程组，可得(a = 1)，(b = \frac{3}{2})，(c = - 1)。所以该二次函数的表达式为(y = x2 + \frac{3}{2}x - 1)。
如果已知条件中包含顶点的相关信息，比如，若抛物线的顶点为(( - 2,5))，且经过点((1, - 4))，求这个二次函数的表达式。此时还是选用一般形式吗？因为已知条件包含顶点，我们首选二次函数的顶点式(y = a(x + h)2 + k)。
设该二次函数的表达式为(y = a(x + h)2 + k)，因为抛物线顶点为(( - 2,5))，所以(h = 2)，(k = 5)，即(y = a(x + 2)2 + 5)。
又因为抛物线经过点((1, - 4))，将其代入可得(- 4 = a(1 + 2)2 + 5)，解这个含(a)的一元一次方程，可得(a = - 1)。所以该二次函数的表达式为(y = - (x + 2)2 + 5)，即(y = - x2 - 4x + 1)。
在这里，请同学们思考一下，若已知二次函数图像的顶点坐标，我们通常设所求二次函数的表达式为顶点式(y = a(x + h)2 + k)。
有时候，已知某些特定的函数性质时，我们要根据相关函数性质选用合适的形式。比如说，已知一个二次函数的图像经过点((4, - 3))，并且当(x = 3)时，有最大值为(4)，如何确定这个二次函数的解析式？
我们根据题干中的最值信息，考虑选用顶点式(y = a(x + h)2 + k)。设该二次函数的表达式为(y = a(x + h)2 + k)，因为当(x = 3)时，有最大值(4)，所以抛物线的顶点为((3,4))，可得(h = - 3)，(k = 4)，那么(y = a(x - 3)2 + 4)。