师：朋友们好，今天我们一起来学习 12.2 一次函数，第七课时——一次函数与一元一次方程、一元一次不等式的关系。
首先，我们来看这样一个问题，观察平面直角坐标系，思考：纵坐标等于 0 的点在哪里？
生：在 x 轴上，此时 y = 0。
师：纵坐标大于 0 的点在哪里？
生：在 x 轴上方，此时 y > 0。
师：纵坐标小于 0 的点在哪里呢？
生：在 x 轴下方，此时 y < 0。
师：再看，解方程 2X - 5 = 0。当自变量 x 为何值时，函数 y = 2X - 5 的值为 0 呢？第一个问题，2X - 5 = 0 是个简单的一元一次方程，求解时通过移项很快得出 x = 2.5。第二个问题，当函数 y = 2x - 5 的值为 0 时，y = 0，此时可把函数转化为一元一次方程求解，同样得出 x = 2.5。从函数值角度看，这两个问题本质相同。
师：画出函数 y = 2x - 5 的图像，并确定它与 x 轴的交点坐标。
（同学们通过列表、描点、连线画出该一次函数图像）
师：大家发现该函数图像与 x 轴交点坐标是$(-\frac{b}{k}, 0)$，也就是(2.5, 0)，与 y 轴交点坐标是(0, b)，即(0, -5)。从图像观察可知它与 x 轴交点坐标为(2.5, 0)。那么思考直线 y = 2X + 20 与 x 轴交点坐标是多少呢？
生：与 x 轴相交时 y = 0，把 y = 0 代入得 2X + 20 = 0，求解方程得出 x 的值，就是交点横坐标；也可以用交点横坐标公式$-\frac{b}{k}$求解，得到横坐标为 -10，交点坐标为(-10, 0)。这说明方程 2X + 20 = 0 的解是 x = -10。
师：问题二，下面三个方程有什么共同特点？你能从函数角度对解这三个方程进行解释吗？①2x + 1 = 3；②2x + 1 = 0；③2x + 1 = -1。
生：这三个方程左边式子都是 2x + 1，可以把它理解为一次函数 y = 2x + 1，分别是 y 取 3、0、 - 1 时，所对应的 x 的值。
师：那么我们通过图像法，先画出 y = 2x + 1 的图像。在这个图像上找当 y = 3 时，x 对应的值是 1；当 y = 0 时，x = -$\frac{1}{2}$；当 y = - 1 时，x = -1。通过图像找到的这些 x 的值，就是对应方程的解。用函数观点看，解一元一次方程 ax + b = k，就是求当函数值为 k 时，对应的自变量的值。
师：好，下面请同学们完成这几道练习。直线 y = 2x + 6 与 x 轴交点坐标为(-3, 0)，这说明方程 2x + 6 = 0 的解是 x = -3。练习二，若方程 KX + 2 = 0 的解是 x = 5，那么直线 y = KX + 2 与 x 轴交点坐标为(5, 0)。练习三，利用图像解不等式 2x - 2 > -x + 4。用代数方法，同学们容易求解，通过移项、系数化为一得出 x 取值范围。但本题要求用图像法，我们先移项把不等式变形为 3x - 6 > 0，然后令 y = 3x - 6，画出它的函数图像。通过作图发现它与 x 轴交点是(2, 0)。
师：通过图像，直线 y = 3x - 6 与 x 轴交点坐标是(2, 0)。当 x > 2 时，直线 y = 3x - 6 上的点都在 x 轴上方，即 3x - 6 > 0。所以 2x - 2 > -x + 4 的解为 x > 2。同学们再思考，还有其他做法吗？
生：还可以分别作出直线 y = 2x - 2 与直线 y = -x + 4 的图像。从图像观察这两个函数图像交点横坐标为 2。当 x > 2 时，直线 y = 2x - 2 在直线 y = -x + 4 的上方，即 2x - 2 > -x + 4。所以它的解为 x > 2。
师：我们一起想，一次函数与一元一次方程有什么样的关系呢？求一元一次方程 KX + b = 0 的解。从函数值看，就是一次函数 y = KX + b 中 y = 0 时，x 的值。从函数图像看，就是求直线 y = KX + b 与 x 轴交点的横坐标。请同学们看下面这个例题。
已知方程 KX + b = 0 的解是 x = 3，则函数 y = KX + b 的图像可能是。从题目可知解是 x = 3，对应的一次函数 y = KX + b，说明它与 x 轴交点坐标一定是(3, 0)。同学们看 a、b、c、d 四个选项，只有 c 选项与 x 轴交点是(3, 0)，所以正确答案选 c。
师：好，请同学们观察 x 轴上方的函数图像，思考对应的函数值 y 与自变量 x 的取值范围，什么时候 y > 0 呢？从图像看，该图像与 x 轴交点是(-3, 0)，与 y 轴交点坐标是(0, 6)。当 y > 0 时，对应的图像 x 取值范围在 - 3 的右侧，所以此时 x > -3。那么它们与不等式 2x + 6 > 0 及其解集有何关系呢？想一想，能通过观察函数图像得出不等式 2x + 6 < 0 的解集吗？
生：首先画出 y = 2x + 6 的图像。当 2x + 6 < 0 时，从图像看，对应的 x 在 - 3 的左侧，所以此时 x < -3，即 2x + 6 < 0 的解集是 x < -3。
师：请同学们观察一次函数 y = 2x + 6 和 y = 3 的图像，能说出 2x + 6 = 3 的解和 2x + 6 > 3 的解集吗？
生：先画出 y = 2x + 6 的图像，y = 3 是平行于 x 轴的直线，这两条直线交点是(-1.5, 3)，所以 2x + 6 = 3 的解是 x = -1.5。2x + 6 > 3 的解集是 y = 2x + 6 的图像在 y = 3 上方时，此时 x > -1.5。
师：同学们思考一下，一次函数与一元一次不等式有什么样的关系呢？
生：一次函数与一元一次不等式之间的关系是，求 KX + b > 0 或 < 0 的解集。从函数值看，就是 y = KX + b 的值大于或小于 0 时，x 的取值范围。从函数图像看，就是确定直线 y = KX + b 在 x 轴上方或下方的图像所对应的 x 的取值范围。
师：例题精讲，画出函数 y = -3x + 6 的图像，结合图像求：一、方程 -3x + 6 = 0 的解。
（同学们画出 y = -3x + 6 的图像）
师：从图像中看到，该函数图像与 x 轴交于(2, 0)，所以 -3x + 6 = 0 的解为 x = 2。求不等式 -3x + 6 > 0 和 -3x + 6 < 0 的解集。
生： -3x + 6 > 0，即函数图像位于 x 轴上方，对应的 x 取值范围在 2 的左侧，所以 x < 2。 -3x + 6 < 0 时，图像位于 x 轴下方，对应的 x 取值范围是 x > 2。
师：如图所示，直线 y = KX + b 经过点(-1, 3)，则不等式 KX + b ≥ 3 的解集为？
生：从图像观察，当 y = 3 时，x = -1，KX + b ≥ 3 时，x 位于 - 1 的右侧，即 x ≥ -1。
师：刚才我们学习了一次函数与一元一次方程及一元一次不等式之间的关系。下面看一道拓展题。学校做一批校徽需要拍照，若到照相馆拍，每张 8 元；若学校自己拍，除买摄像机需 120 元，每张还需成本 4 元。设需要拍 x 张，到照相馆拍需 Y? 元，学校自己拍需 Y? 元。第一个问题，求 Y? 和 Y? 与 x 的函数关系式。
生：到照相馆拍，每张 8 元，共拍 x 张，所以 Y? = 8X。学校自己拍，除买摄像机 120 元，每张成本 4 元，共拍 x 张，所以 Y? = 4X + 120。
师：第二问，拍这些照片到照相馆拍费用省还是学校自己拍费用省？请说明理由。
生：由第一问得 Y? = 8x，Y? = 4x + 120。在同一平面直角坐标系画出这两个函数图像，因为自变量 x 是非负数，所以图像均在第一象限。从图像观察，两个函数图像交点横坐标为 30，这意味着当 x = 30 时，Y? = Y?。当 x > 30 时，Y? 在 Y? 上方，即 Y? > Y?，此时学校自己拍省钱。当 0 < x < 30 时，Y? 在 Y? 下方，Y? 费用节省。所以当 x = 30 时，两家费用一样；当 x > 30 时，学校自己拍省钱；当 x < 30 时，照相馆拍省钱。
师：同学们，通过这个例题，我们发现一次函数与一元一次不等式之间的关系可通过图像法直观比较大小。利用一次函数图像解一元一次方程或一元一次不等式的步骤：一、先将方程或不等式变形为 KX + b = 0，或 KX + b > 0，或 KX + b < 0 的形式，使右端为 0。二、画出一次函数 y = KX + b 的图像。三、观察图像与 x 轴的交点。四、根据交点横坐标确定方程 KX + b = 0 的解，观察 x 轴上方或下方图像上点的横坐标范围，确定 KX + b > 0 或 KX + b < 0 的解集。下面请同学们完成课堂练习。
一、下列说法正确的是：
A 选项：方程 2X - 6 = 0 的解可看作直线 y = 2X - 6 与 y 轴交点的横坐标。
生：这是错误的，2x - 6 = 0，即 y = 0，应该是与 x 轴交点的横坐标，所以正确选项选 B。
二、一元一次不等式 -x + 1 > 0 的解集，就是使一次函数 y = -x + 1 取正值时 x 的取值范围。从图像看， -x + 1 > 0 的解集是直线 y = -x + 1 位于 x 轴上方部分点的横坐标取值范围。
三、一次函数 y = KX + b 的图像如图所示，则关于 x 的不等式 KX + b < 0 的解集为？
生：从图像看，y = KX + b 与 x 轴交点横坐标为 1，KX + b < 0 即函数图像位于 x 轴下方对应的 x 取值范围，此时 x 位于 1 的左侧，即 x < 1。
四、用图像法解不等式 -x + 3 < 0， -x + 3 > 0。这两个不等式左边都是 -x + 3，用图像法，先画出 y = -x + 3 的图像。从图像看到该图像与 x 轴交于(3, 0)。
生：当 y < 0 时，图像位于 x 轴下方，即 x > 3；当 y > 0 时，函数图像位于 x 轴上方，对应的 x 取值范围在 3 的左侧，即 x < 3。所以当 -x + 3 < 0 时，x > 3；当 -x + 3 > 0 时，x < 3。
五、如下图是函数 Y? = 2x - 4 与 Y? = -2x + 8 的图像。观察图像，回答下列问题：
x 取何值时 Y? > 0？
生：从图像观察，Y? 与 x 轴交点坐标为(2, 0)，当 Y? > 0 时，函数图像位于 x 轴上方，对应的 x 位于 2 的右侧，即 x > 2。
x 取何值时，Y? > 0？
生：从图像看，当 x = 4 时，Y? = 0，Y? > 0 时，函数图像位于 x 轴上方，对应的 x 位于 4 的左侧，即 x < 4 时，Y? > 0。
x 取何值时，Y? > 0 与 Y? > 0 同时成立？
生：要同时满足 Y? > 0 且 Y? > 0，x > 2 时 Y? > 0，x < 4 时 Y? > 0，所以 x 的取值范围是 2 < x < 4。
若 Y? = K?X + B?，Y? = K?X + B?，C 点坐标为(3, 2)，那么 x 取何值时，Y? > Y?？
生：C 点表示当 x = 3 时，Y? = Y? = 2。Y? > Y? 时，从图像看 Y? 位于 Y? 上方，对应的 x 取值范围位于 C 点横坐标右侧，即 x > 3 时，Y? > Y?。
师：同学们，这节课我们学习了一次函数与一元一次方程及一元一次不等式之间的关系。一次函数与一元一次方程的关系是，解一元一次方程可转化为当某个一次函数值为 0 时，求相应自变量的值，也就是一次函数与 x 轴交点的横坐标。与一元一次不等式的关系是，解一元一次不等式可看作当一次函数函数值大于或小于 0 时，求自变量相应的取值范围。今天的作业是课本第 47 页第 6 题、第 7 题、第 9 题。同学们，今天这节课就上到这，同学们，再见。