师：小伙伴们大家好，今天由陈老师带领大家学习初中数学，人民教育出版社七年级下册第五章第二节《平行线的判定》第一课时。上课前，我们先看这样一个问题。如图一，两条直线平行吗？为什么有的同学说图一两条直线延长会交于一点，图二两条直线延长不会相交，所以认为图一两条直线不平行，图二两条直线平行，一定是这样吗？
肉眼的直观感知是我们学习数学很重要的手段，但有时眼见不一定为实。比如看下面这个图，图中两条线段长度大小如何？是不是觉得左边红色线段短一些，右边绿色线段长一些？实际上这两条线段完全一样长，不信可以对比看看。无论是人眼睛的生理特点，还是心理特点，看错图都在所难免，而且这种错误几乎人人都会犯，老师也不例外。这其实就是视错觉，物理学家和心理学家将视错觉产生的原因概括为以下三类：一是画在平行线上不同方向的锐角之间的差异造成的；二是眼睛里视网膜弯曲程度造成的；三是有层次的线段使眼睛集中和分散，造成平行线视觉上的弯曲。我们课本第十面也对看图时的错觉做了详细说明，有兴趣的同学课下可以自行研究。宇宙中有很多神奇事物等待我们去认知，言归正传。图一通过延长确实找到了交点，证明图一两条直线不平行，但图二同学们通过延长一定长度没找到交点，那这两条直线就一定平行吗？有的同学提到，直线两端无限延伸，想从交点方面判断两条直线是否平行困难重重。
既然从定义角度无法判定，那该如何寻找平行线的判定方法呢？这节课我们就来研究平行线的判定。先来回忆一下，我们是如何过直线外一点画已知直线的平行线的？
我们将这个过程概括为“一放二靠三移四画线”。请同学们思考，在这个过程中，三角尺起了怎样的作用？为方便研究这个实际问题，我们将它简化为数学问题。可以看到，过点(p)作与已知直线(AB)平行的直线(CD)，实际上是过点(p)作出与角(2)相等的角(1)。而角(1)与角(2)是(a)、(b)、(c)、(d)两条直线被(EF)所截形成的同位角。在长期实践中，人们发现了平行线判定的基本事实：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行。简单说就是，同位角相等，两直线平行。这是用文字语言表述的平行线判定的基本事实，也就是我们所说的平行线判定公理。为更好表达这一发现，我们用数学符号语言表示：已知，如图，因为(\angle1 = \angle2)（已知），所以(L_1\parallel L_2)（同位角相等，两直线平行）。这里用上面两个点，下面一个点表示“因为”，上面一个点，下面两个点表示“所以”。及时巩固，来看例一。如图(6)，直线(L_1)，(L_2)被直线(L_3)所截，(\angle1 = 45^{\circ})，(\angle2 = 135^{\circ})。判断(L_1)与(L_2)是否平行，并说明理由。请同学们动笔思考。
同学们观察到(\angle1)与(\angle2)在这里没有特定位置关系，我们可以把(\angle1)和(\angle2)的位置关系转变成已知的同位角关系。比如，我们可以选择(\angle2)的邻补角(\angle3)，(\angle1)和(\angle3)就是同位角关系。通过计算(\angle3 = 180^{\circ} - 135^{\circ} = 45^{\circ})，这样就与(\angle1)相等了，由同位角相等就能得到(L_1)与(L_2)平行。
来看完整解题过程：(L_1\parallel L_2)，理由如下：因为(\angle2 + \angle3 = 180^{\circ})（平角的定义），所以(\angle3 = 45^{\circ})；又因为(\angle1 = 45^{\circ})（已知），所以(\angle1 = \angle3)（等量代换），所以(L_1\parallel L_2)（同位角相等，两直线平行）。还有其他方法吗？很好，有的同学选择了(\angle1)的邻补角，通过计算和(\angle2)相等，依然能利用同位角相等判定(L_1)与(L_2)这两条直线平行。再来看例(2)，如图(7)，你能说出木工用图中的角尺画平行线的道理吗？我们把这个问题转化为数学问题，即如图(8)，(CD\perp AB)，(EF\perp AB)，(C)、(E)分别为垂足，直线(CD)与直线(EF)平行吗？请说明理由。大家很容易观察到(\angle ACD)、(\angle AEF)由于垂直均为(90^{\circ})，所以可以利用这两个(90^{\circ})的同位角来判定两条被截直线(CD)与(EF)平行。来看完整过程：(CD\parallel EF)，理由如下：因为(CD\perp AB)，(EF\perp AB)（已知），所以(\angle ACD = 90^{\circ})，(\angle AEF = 90^{\circ})（垂直的定义），所以(\angle ACD = \angle AEF)（等量代换），所以(CD\parallel EF)（同位角相等，两直线平行）。
大家观察到(CD)和(EF)这两条直线在同一平面内，且同时垂直于(AB)，它们就有平行关系。那么由此可以得到平行线判定的什么方法呢？能否用文字描述？
有的同学已经说出来了，在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行。截至目前，我们掌握了四种判定平行的方法：一、平行线的定义；二、平行公理及其推论；三、平行线的判定公理，即同位角相等，两直线平行；四、在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行。接下来小试牛刀，看看大家学得怎么样。一、某人骑自行车从(a)地出发，沿正东方向前进至(b)处后右转(15^{\circ})，沿直线向前行驶到(c)处。如图(9)，这时他想仍按正东方向行驶，那么他应该怎样调整行驶方向？请画出他继续行驶的路线，并说明理由。请同学们先独立思考。
好，一起来看。我们可以先在点(c)处画出与(AB)相同的正东方向。怎么保证(CF)与(AB)是同一方向呢？聪明的同学发现，如果它们都是正东方向，应该平行。所以在点(c)处画(CF)时，保证(\angle ECF = 15^{\circ})，这样同位角相等就能判定(AB)和(CF)平行，从而说明(CF)为正东方向。
来看，如图(10)，延长(BC)至(E)，向北调整(15^{\circ})，即(\angle ECF = 15^{\circ})，(CF)即为继续行驶的路线。理由如下：因为(\angle CBD = \angle ECF = 15^{\circ})（已知），所以(AB\parallel CF)（同位角相等，两直线平行），由射线(AB)为正东方向，故(CF)亦为正东方向。做对了吗？第二题，如图(11)，直线(L_1)，(L_2)被直线(L_3)所截，且(\angle1 = \angle2)。直线(L_1)与(L_2)平行吗？请说明理由，请大家独立思考。
好的，一起来看。有的同学借助(\angle2)和(\angle3)是对顶角，由(\angle1 = \angle2)等量代换成(\angle1 = \angle3)，根据同位角得出两条被截直线(L_1\parallel L_2)。也有的同学借助(\angle1)的对顶角(\angle4)，等量代换成(\angle2 = \angle4)，继而说明(L_1\parallel L_2)，这两种方法都很棒。老师想问大家，如果本题只给(\angle3 = \angle4)，能否说明两条被截直线(L_1)与(L_2)平行呢？聪明的同学发现，由(\angle3 = \angle4)可以直接等量代换成(\angle1 = \angle3)或(\angle2 = \angle4)，继而由同位角相等判定(L_1\parallel L_2)。那么请问(\angle3)与(\angle4)在这个图中是什么关系的角？非常好，它们是内错角。那么由此又能发现什么判定方法呢？由内错角也可以判定两条被截直线平行，这样就得出了平行线的判定方法五：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行。简单说，内错角相等，两直线平行。用符号语言表述：已知，如图，因为(\angle1 = \angle2)（已知），所以(L_1\parallel L_2)（内错角相等，两直线平行）。再看前面木工师傅画平行线的问题，能否通过内错角相等来判断师傅画的是平行线呢？我们可以借助(\angle ACD)的对顶角(\angle1)，如图，(\angle1)与(\angle2)均为(90^{\circ})，内错角相等，依然能判定师傅所画的两条被截直线(CD)与(EF)平行。同理，也可以选择(\angle BEF)的对顶角，与(\angle BCD)相等也可以。