师：同学们，大家好。今天我们一起来学习第19课第二节一次函数的第四课时——一次函数图像及其性质。上节课我们学过一次函数的概念，大家一起回忆一下，一次函数是形如y = kx + b（k、b为常数，k ≠ 0）的函数。当b = 0时，函数解析式变为y = kx，这时就是正比例函数。所以，正比例函数属于特殊的一次函数。要研究一次函数的图像及其性质，首先要了解正比例函数图像及其性质。
正比例函数y = kx（k ≠ 0，且为常数），它的图像是一条经过原点和（1，k）的直线，我们把这条直线称为直线y = kx。因为两点可以确定一条直线，所以我们可以用两点法来画图像。正比例函数图像的性质与k的取值大小有关。当k > 0时，直线自左向右上升，经过一、三象限，y随x的增大而增大；当k < 0时，直线自左向右下降，经过二、四象限，y随x的增大而减小。
那么一次函数图像与正比例函数图像是否存在一定的联系呢？下面我们一起来探究。画出函数y = -6x与y = -6x + 5的图像。同学们先回忆一下，用描点法画图像有哪些步骤？
生：用描点法画图像的一般步骤有列表、描点、连线。
师：非常好，请大家在草稿纸上画出这两个函数的图像。我们一起来列表，因为正比例函数图像是一条经过原点和（1，k）的直线，所以x的值可以选择0、1，得出对应y的值。接着描点连线。一次函数的自变量x的取值范围是全体实数，我们分别取x = -1、0、1、2这些值，求出y的对应值分别为11、5、 -1、 -7 。把每组值在坐标系中描点并连线。
我们来观察图像并思考，比较上述两个函数图像的相同点和不同点。我们可以分别从图像的形状、图像的倾斜程度和图像与y轴的交点坐标进行观察。
生：这两个函数图像形状都是直线，并且倾斜程度相同。函数y = -6x的图像经过原点，函数y = -6x + 5的图像与y轴交于点（0，5），它可以看作y = -6x向上平移5个单位长度而得到。
师：从图像上我们发现了它们的相同点和不同点，那么从解析式上你又有什么样的发现呢？比较两个函数解析式，能说出两个函数图像有上述关系的道理吗？
生：y = -6x和y = -6x + 5，它们的系数k相同，常数不同。联想图像的相同点，图像的倾斜程度相同，由此可以得出，系数相同时倾斜程度相同，这时两直线平行，则当k相同，b不同时两直线平行。
师：我们再从表格当中的函数值来进行比较，有什么发现？
生：当x = -2时，y = -6x的函数值为12，y = -6x + 5的函数值为17，它们相差5；当x = -1时，y = -6x的函数值为6，y = -6x + 5的函数值为11，它们也相差5，其他数值也是一样。所以可以发现每一个自变量对应两个函数值总是相差5，即y = -6x + 5的图像总比y = -6x的图像高出5个单位长度。所以直线y = -6x + 5可以看作y = -6x向上平移5个单位长度而得到。
师：我们来总结一下，一次函数y = kx + b（k ≠ 0），它的图像也是一条直线，我们把它称为直线y = kx + b。直线y = kx + b可以由直线y = kx平移|b|个单位长度得到。当b > 0时向上平移，当b < 0时向下平移。这时直线与y轴的交点坐标为（0，b），即b的值就是直线与y轴交点的纵坐标。下面我们来看两道练习。直线y = -3x - 2，可以看成由直线y = -3x向哪平移几个单位长度得到？
生：因为图像平移的方向和距离是由b决定的。这里一次函数当中的b = -2，小于0，则向下平移两个单位长度得到。
师：第二题，函数y = kx + b的图像平行于直线y = -2x，与y轴交于（0，3），则k等于几？b等于几？
生：这里的关键词是平行。由平行我们可以得出两个函数解析式中的系数k相同，所以k = -2，与y轴的交点纵坐标则是b的值，所以b = 3。
师：刚刚我们知道了一次函数图像是一条直线，也可以由系数相同的正比例函数图像平移得来。那么我们是否能够更方便地画出函数图像呢？下面请同学们来试一试，画出函数y = 2x - 1与y = -0.5x + 1的图像。
（过一会儿）相信大家已经画好了，我们来看一看你画的方法和老师画的方法是否一样。因为一次函数图像是一条直线，所以我们也可以运用两点法来进行画图。为了方便计算，我们可以列表表示当x = 0和x = 1时，所对应的函数值。
当x = 0和x = 1，求出y = 2x - 1所对应的函数值为 -1、1，则过点（0， -1）和点（1，1）画出直线y = 2x - 1。我们再算出y = -0.5x + 1所对应的函数值分别为1和0.5，过点（0，1）和点（1，0.5）画出直线y = -0.5x + 1，这样图像就画好了。
大家跟老师的方法一样吗？我们来总结一下，画一次函数图像可以选择点（0，b）和点（1，k + b）画出直线。还有其他的方法吗？
生：还可以运用平移法来进行画图。
师：对，要画出y = 2x - 1的图像，我们可以先画出直线y = 2x，因为直线y = 2x是经过原点和（1，2）画出直线，再将y = 2x这条直线向下平移一个单位长度，得到y = 2x - 1。同样的，要画出y = -0.5x + 1的图像，可以先画出直线y = -0.5x，因为y = -0.5x是经过原点和（1， -0.5）画出直线，再将y = -0.5x的直线向上平移一个单位长度，得到y = -0.5x + 1。所以画一次函数图像，我们既可以运用两点法，也可以运用平移法。
我们接着来探究一次函数图像的性质。画出函数y = x + 1、y = -x + 1、y = 2x + 1、y = -2x + 1的图像，由它们联想一次函数解析式y = kx + b（k、b是常数，k ≠ 0）中k的正负对函数图像有什么影响？请同学们在同一坐标系中画出这4个图像。
（过一会儿）请看大屏幕，这里我用不同的颜色来表示4个不同的函数图像，仔细观察可以发现蓝色和绿色的两个图像走向一致，红色和粉红色的两个图像走向一致，下面我们分别来研究它们。观察函数y = x + 1、y = 2x + 1的图像可以发现直线从左向右呈上升趋势。我在蓝色直线上选择了三个点，A（2，3）、B（3，4）、C（4，5）。从这三个点的坐标可以发现，当x的值增大时，y的值也在增大。而这两条直线解析式中的系数k都是大于0的，因此我们可以得出当k > 0时，y随x的增大而增大。
那是否对于任意选的两个点都满足这样的增减性呢？我们可以这样假设，直线y = kx + b（k > 0）上有两个点，分别为（x?，y?）、（x?，y?），并且x? > x?。我们只需要判断出y?与y?的大小就可以说明。把这两个点分别代入函数解析式当中得到y? = kx? + b，y? = kx? + b。
要判断y?与y?的大小，我们可以用求差的方法。因为y? - y? =（kx? + b） - （kx? + b），化简得kx? - kx?，提取公因式得出k（x? - x?）。因为k > 0，所以它为正数，而x? > x?，所以x? - x?的差也是为正数。两个正数相乘，结果为正，所以大于0，则得出y? > y?。那么就可以得到当x? > x?时，y?是大于y?的。这里自变量的值越大，它所对应的函数值也越大，所以k > 0时，y随x的增大而增大。
我们再来观察函数y = -x + 1的图像可以发现直线自左向右呈下降趋势，而这时两个函数解析式的系数k是小于0的。我同样在红色直线上选择了三个点，D点（ -2，3）、E点（2， -1）、F点（4， -3）。可以发现，当x的值增大时，y的值却在减小。也就是说，当x? > x?时，y?是小于y?的。所以得出当k < 0时，y随x的增大而减小。任意选两点同样也满足这样的增减性。同学们有兴趣的可以课后尝试着写一写。
下面归纳总结，当k > 0时，直线y = kx + b自左向右上升；当k < 0时，直线y = kx + b自左向右下降。那么一次函数y = kx + b（k、b为常数，k ≠ 0），它的图像具有以下的性质，当k > 0时，y随x的增大而增大；当k < 0时，y随x的增大而减小。
从前面的学习，我们已经知道一次函数当中的系数k决定了直线的倾斜程度和增减性，而常数项b决定了与y轴的交点坐标和平移的距离。那么将两者结合起来又有怎样的性质呢？我们一起来看一看。系数k，常数项b共同决定了图像所经过的象限。若k > 0，b > 0时，因为k > 0，直线自左向右上升，b > 0，与y轴的正半轴相交，所以图像经过一、二、三象限；若k > 0，b < 0时，k > 0，直线自左向右上升，b < 0，直线与y轴的负半轴相交，这时图像经过一、三、四象限；若k < 0，b > 0，k < 0，直线自左向右下降，b > 0，直线与y轴的正半轴相交，所以图像经过一、二、四象限；若k < 0，b < 0时，k < 0，直线自左向右下降，b < 0，与y轴的负半轴相交，所以图像经过二、三、四象限。下面进行巩固练习。直线y = 2x - 6，与x轴交点的坐标为？与y轴交点的坐标为？图像经过哪几个象限？y随x的增大而怎样？
生：因为与x轴交点的纵坐标为0，则y = 0，将y = 0代入到函数解析式当中，得出x = 3，所以与x轴交点的坐标为（3，0），与y轴的交点则为（0，b），所以坐标为（0， -6）。图像所经过的象限，我们可以画出大致图像。因为这里函数解析式当中的k = 2 > 0，b = -6 < 0，所以直线自左向右上升与y轴的负半轴相交，所以图像经过一、三、四象限，这时y随x的增大而增大。
师：再来看一题，已知直线y = -3x + b，经过点A（1，y?）和B（ -2，y?），则y?与y?的大小关系为，请同学们思考一下。
生：这里函数值的大小关系是与k有关的，而这里的k = -3 < 0，所以得到y是随x的增大而减小，那么也就是说x越大时所对应的y的值就越小。而A点的横坐标为1，B点的横坐标为 -2，所以1 > -2，那么对应的A点的纵坐标y?就小于B点的纵坐标y?。所以y?与y?的大小关系为y? < y?。
师：最后再来看一题，已知直线y = kx + b，经过第一、二、四象限，则直线y = bx + k不经过第几象限，请同学们思考一下。
生：直线经过一、二、四象限，我们可以画出大致图像。由图像可以知道，直线自左向右是呈下降趋势，所以k < 0，而直线与y轴的正半轴相交，所以b > 0。而我们所要求的直线是y = bx + k，所以这里b作为系数是大于0的，所以它直线自左向右是上升的，而k作为常数项小于0，所以与y轴的负半轴相交，画出大致图像。由图像可知，y = bx + k是不经过第二象限。
师：到这里，我们进行课堂小结，本节课你有哪一些收获呢？
生：我们学会了画一次函数图像，可以用两点法，也可以用平移法；了解了一次函数图像及其性质，知道一次函数的图像是一条直线，图像的性质与系数k和常数项b有着密切的联系；从中我们体验了数形结合的思想和特殊到一般的思想。
师：下面这是今天的作业，这节课到此结束，同学们再见。