师：好，同学们好，很高兴今天和大家一起学习初中数学北师大版八年级下册第一章三角形的证明第一节等腰三角形第四课时。这节课我们按以下环节进行教学设计：复习回顾、情景导入、解决问题、例题讲解、课堂练习、课堂小结、布置作业。这节课我们主要讲述等边三角形的判定以及直角三角形中 30 度角所对直角边与斜边的关系。现在进入第一环节复习回顾。前面我们讲了等腰三角形的判定定理，大家还记得吗？有两角相等的三角形是等腰三角形。另外，上一课时我们还提到了反证法的证明过程：先假设命题的结论不成立，然后推导出与定义、基本事实、已有定理或已知条件相矛盾的结果，从而证明命题的结论一定成立，这种证明方法就是反证法。
接下来第二环节情景导入。同学们看，李师傅是工厂的锻造工，他的工作是锻造等边三角形零件。生产零件过程中，需要检验员检验零件是否合格。如果你们是检验员，会用什么方法检验李师傅的零件是否合格呢？什么样的三角形才是等边三角形？换句话说，一个三角形满足什么条件就是等边三角形呢？之前我们是在等腰三角形基础上添加条件使其成为等边三角形。现在任给一个三角形，要说明它是等边三角形有两种形式：一是说明三角形三边都相等；二是说明三角形三个角都相等且都等于 60 度。同学们，你们的检验方式是方法一还是方法二呢？
下面进入解决问题环节，有两个问题。第一个问题，三个角都相等的三角形是等边三角形，怎么证明这个命题呢？假设三角形 ABC 的角 A、角 B、角 C 都相等，因为三角形内角和是 180 度，所以角 A、角 B、角 C 都等于 60 度。这时利用等角对等边的性质，能判断 AB = AC，AB = BC，AC = BC，从而得出三角形 ABC 是等边三角形。
第二个问题，有一个角是 60 度的等腰三角形是等边三角形，怎么验证呢？前面提到等腰三角形两底角相等，题目给出 60 度角，有两种可能：一是 60 度角作为顶角，那么底角相等也为 60 度；二是 60 度角作为底角，那么另一底角也是 60 度，顶角同样为 60 度。所以不管 60 度角是底角还是顶角，都能得出 60 度角的等腰三角形是等边三角形。
以上两个解决问题的方法大家掌握了吗？还有其他能说明三角形是等边三角形的方法吗？大家课下可以深入探讨。下面进入做一做环节，请同学们准备好三角板。问题是：用两个含 30 度角的三角尺，能拼成怎样的三角形？这里老师提示，拿两个一样的 30 - 60 - 90 度的三角板拼接。同学们，你们拼成了怎样的三角形呢？老师演示一下，将三角板位置变化，同学们看，这是三角板的 30 度角，另一个也是 30 度角，如果合理拼接，会得到一个等腰三角形，底角是 30 度，顶角是 120 度。同学们拼出来了吗？
可能有的同学拼接方式不同，老师再展示第二种。拼接前，老师先问个问题：直角三角形中 30 度角所对的直角边与斜边有怎样的大小关系？带着这个问题动手拼接。同学们看这个拼接过程，你们发现了什么？有同学说这个角是 60 度，同样另一个角也是 60 度。有同学发现这样拼接构成了一个等腰三角形，再仔细想想，仅仅是等腰三角形吗？对，两个角是 60 度，那第三个角也是 60 度，所以拼接得到的不只是等腰三角形，而是一个等边三角形。同学们还记得老师刚刚的问题吗？30 度角所对的直角边与斜边有怎样的大小关系？
这就是我们这节课要讲的内容。已知三角形 ABC 是直角三角形，角 C = 90 度，角 A = 30 度，求证 BC 是 AB 的一半。同学们看，这个直角三角形和我们刚刚动手操作的三角板是不是一样？刚刚动手操作，拼凑后发现能得到等腰三角形，第二次操作又得到另一个三角板，假设为 ACB'，把两个一样的三角板拼凑在一起，角 B、角 B' 都是 60 度，在这个三角形中出现了两个 60 度角，所以三角形 ABB' 是等边三角形。因为 BB' = AB，BC 是 BB' 的一半，所以 BC 也是 AB 的一半，通过动手操作我们得出了这个结论。课本教材建议延长 BC 到 B'，使 BC = B'C，通过三角形全等来证明。同学们看，角 ACB = 角 ACB' = 90 度，AC 是公共边，已知两边及夹角相等，所以三角形 ABC 和三角形 AB'C 全等，理由是 SAS。因为三角形全等对应边相等，所以 BC = B'C = 1/2 BB'，从而得出 BC 是 AB 的一半。同学们想想，还有其他解决方法吗？
如果刚刚做辅助线时，直接延长 BC 到 B'，使 AB = BB'，会怎样呢？这样三角形 ABB' 就是等腰三角形了，因为 AB = BB'，又因为角 B = 60 度，根据前面学的性质，有一个内角为 60 度的等腰三角形是等边三角形，这样就省略了证明三角形 ABC 与三角形 AB'C 全等的过程。同学们明白了吗？