师：同学们好，今天我们要学习初中数学人教版七年级下册第九章不等式与不等式组小结的第一课时。首先，来看本章的知识结构图。不等式和不等式组是刻画不等关系的数学模型，应用广泛。本章主要学习了不等式的基础知识，以及一类最简单的不等式和不等式组，即一元一次不等式和一元一次不等式组，并运用它们解决了一些数学问题和实际问题。在学习不等式的性质和一元一次不等式组解法时，我们类比了等式的性质、方程和方程组的解法，这有助于对知识的理解和掌握。
下面，我们首先复习不等式的基础知识。用不等号表示不相等关系的式子叫做不等式。常用的不等号有大于或等于号、小于或等于号、大于号、小于号、不等于号。使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解。一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集，求不等式解集的过程叫做解不等式。
不等式有以下性质：
性质一：不等式两边加或减同一个数或式子，不等号的方向不变。即如果(a\gt b)，那么(a + c\gt b + c)，(a - c\gt b - c)。
性质二：不等式两边乘或除以同一个正数，不等号的方向不变。即如果(a\gt b)，(c\gt0)，那么(ac\gt bc)，(\frac{a}{c}\gt\frac{b}{c})。
性质三：不等式两边乘或除以同一个负数，不等号的方向改变。即如果(a\gt b)，(c\lt0)，那么(ac\lt bc)，(\frac{a}{c}\lt\frac{b}{c})。
下面来看第一题，若(a\gt b)，用小于号或大于号填空。
第一小题，(2a - 4)与(2b - 4)。利用不等式的性质2，在不等式(a\gt b)的两边乘(2)，得到(2a\gt 2b)，再利用不等式的性质1，两边减(4)，就得到(2a - 4\gt 2b - 4)，所以应填大于号。
第二小题，(-3.5b + 1)与(-3.5a + 1)。利用不等式的性质3，在不等式(a\gt b)的两边乘(-3.5)，得到(-3.5a\lt -3.5b)，再利用不等式的性质1，两边加(1)，就得到(-3.5a + 1\lt -3.5b + 1)，所以(-3.5b + 1\gt -3.5a + 1)，应填大于号。
通过例一，我们要注意不等式的性质与等式的性质基本类似，但不等式两边乘或除以同一个负数时，不等号的方向要改变。下面来看一道练习：若(m\gt n)，(a\neq0)，则下列不等式不一定成立的是，请同学们思考一下。
我们一起来分析，利用不等式的性质，在不等式(m\gt n)的两边加(a)，得到(m + a\gt n + a)，所以A选项正确。再看B选项，利用不等式的性质，在不等式(m\gt n)的两边乘(-1)，得到(-m\lt -n)，再利用不等式的性质1，在不等式(-m\lt -n)的两边加(a)，就得到(a - m\lt a - n)，所以B选项也正确。C选项，由条件(a\neq0)，可知(a^2\gt0)。根据不等式的性质2，在不等式(m\gt n)的两边乘正数(a^2)，就得到(ma^2\gt na^2)，所以C选项也正确。
再看D选项，由条件(a\neq0)，可以判断出(a\gt0)或(a\lt0)。当(a\lt0)时，由不等式的性质3，在不等式(m\gt n)的两边乘负数(a)，不等号方向改变，就得到(ma\lt na)，所以D选项不一定成立。那么这道题应选择D，同学们，你做对了吗？下面来看两个判断题，请同学们思考一下。
我们一起来分析，第一题，若(ma^2\gt na^2)，则(m\gt n)。由条件可知(a^2\gt0)（若(a^2 = 0)，那么条件不成立），所以利用不等式的性质，在不等式(ma^2\gt na^2)两边除以正数(a^2)，就得到(m\gt n)，所以第一个判断是正确的。
第二题，若(m\gt n)，则(ma^2\gt na^2)。这里条件只是(m\gt n)，并没有交代(a)的取值情况，所以(a^2)可能大于(0)或等于(0)。当(a^2 = 0)时，就得到(ma^2 = na^2 = 0)，所以第二个判断是错误的，同学们，你判断对了吗？下面我们继续复习一元一次不等式的相关知识。
一元一次不等式的定义：只含有一个未知数，未知数的次数是(1)，并且不等号两边都是整式的不等式，叫做一元一次不等式。下面来看例2，下列式子中一元一次不等式有几个？
(3x - 1\geq4)
(2 + \frac{1}{3}x\gt6)
(3 - \frac{1}{x}\lt6)
(\frac{x - 1}{6} - \frac{3x + 2}{2}\lt3)
(x + xy\geq y^2)
(x\gt0)
我们一起来分析，通过观察发现，第三个不等式小于号左边(3 - \frac{1}{x})不是整式，所以第三个不等式不是一元一次不等式。第五个不等式(x + xy\geq y^2)，出现了两个未知数(x)和(y)，并且含有未知数的项的最高次数是(2)，所以这个不等式也不是一元一次不等式。所以这道题目有(4)个一元一次不等式，答案选B。
通过例2，我们要注意一元一次不等式的概念包含三个要点：一是用不等号连接；二是不等号两边都是关于未知数的整式；三是只含一个未知数，且未知数的次数为(1)。下面来看一道练习：已知((m + 3)x^{\vert m\vert - 2} + 6\gt0)是关于(x)的一元一次不等式，求(m)的值，请同学们思考一下。