师：同学们好，欢迎来到数学课堂。这节课我们学习初中数学北师大版七年级下册第三章回顾与思考。我们生活在变化的世界，宇宙中行星位置随时间变化，气温随海拔变化，树高随树龄变化。
在这些现实情境中，为更好认识世界，我们学习了变量之间的关系，了解了自变量和因变量。怎样表示变量之间的关系呢？有表格法、关系式法、图像法。通过这三种方法，我们能解决、预测生活中的一些实际问题。回到现实生活，面对实际问题该采用哪种方法呢？关键要清楚它们的优缺点。表格法数值表示清晰，关系式法便于计算，图像法形象直观，可预测未来变化趋势。下面从具体实例复习。
如图，这是弹簧长度 y 随所挂物体质量 x 变化关系的图像。第一，此图反映了哪两个变量之间的关系？哪个是自变量，哪个是因变量？根据前面学习可知，图像横轴表示自变量，纵轴表示因变量。所以自变量是所挂物体的质量 x，因变量是弹簧的长度 y。该图像反映了因变量弹簧长度随自变量所挂物体质量变化的情况。
第二，根据图像补全表格：x = 0 时，y = 8；x = 1 时，y = 10；x = 2 时，y = 12；x = 3 时，y = 14；x = 4 时，y = 16；x = 5 时，y = 18。
第三，由图可知，弹簧所挂物体质量的允许值范围是多少千克？从图像看到，当所挂物体质量大于 5 千克时，弹簧长度不再改变，所以所挂物体质量最多为 5 千克。那么弹簧所挂物体质量的允许范围是 x ≥ 0 且 x ≤ 5 千克。
第四，弹簧长度怎样随所挂物体质量的变化而变化？弹簧长度在所挂物体质量 x ≥ 0 且 x ≤ 5 千克的弹性范围内，随所挂物体质量的增加而增加。
第五，能列出弹簧长度 y 与所挂物体质量 x 的关系式吗？当 x = 0 时，y = 8，即不挂物体时弹簧自然长度为 8 厘米，每增加 1 千克，弹簧长度增加 2 厘米。所以当所挂物体质量为 x 千克时，弹簧长度增加 2x 厘米，弹簧总长度 y = 8 + 2x。
接着看例 2，某汽车加满油后为 40 升，汽车行驶时剩油量 y 随汽车行驶时间 x 的关系式是 y = 40 - 5x。第一，请完成下表：x = 0 时，y = 40 升，即汽车未行驶时油量是 40 升；x = 1 时，y = 40 - 5×1 = 35 升；x = 2 时，y = 40 - 5×2 = 30 升；x = 3 时，y = 40 - 5×3 = 25 升；x = 4 时，y = 40 - 5×4 = 20 升；x = 5 时，y = 40 - 5×5 = 15 升。
第二，如果剩油量为 10 升，行驶时间是多少呢？我们可以先猜想，按数字规律行驶时间应为 6 小时。把 6 小时代入关系式，y = 40 - 5×6 = 10 升，所以是 6 小时。当然，从题目可知，剩油量为 10 升即 y = 10，所以 10 = 40 - 5x，解方程可得 x = 6 小时。两种方法都能得出汽车行驶了 6 小时。
第三，加满 40 升汽油，最多行驶几个小时呢？方法一，根据表格可知汽车每小时耗油 5 升，所以 40÷5 = 8 小时。方法二，加满 40 升汽油，最多行驶时间即汽车剩油量 y 为 0 时，令 y = 0，得到方程 0 = 40 - 5x，解方程可得 x = 8 小时。
第四，下面哪个图像能反映变量 y 与 x 的关系？随着时间 x 增加，剩余量 y 越来越小，所以首先排除 A 和 C。D 答案开始一段时间图像与横轴平行，说明不耗油，不符合生活实际，所以正确答案选 B。随着时间增加，剩油量越来越小。
下面总结第一种类型，表格、图像、关系式表示的变量间关系。用关系式、表格、图像三种不同方法表示一个问题中的两个变量关系，各有优点和不足，它们可互相取长补短。表格、关系式、图像在一定条件下可相互转化来表示变量之间的关系。
接着看类型 2 行程问题中的变量之间的关系。明明和爸爸开车去动物园，明明画出汽车速度随时间的变化情况图。根据经验，图像横轴为自变量，纵轴为因变量，此图反映速度随时间变化情况。
第一，汽车行驶了多长时间？最大速度是多少？从图像可知，汽车行驶了 16 分钟，最大速度为 30 千米每小时。
第二，汽车在哪个范围内保持匀速行驶？速度是多少？从图像可知，2 - 6 分钟、12 - 16 分钟图像与横轴平行，所以这两个时间段汽车保持匀速行驶，速度为 30 千米每小时。
第三，出发后 8 - 10 分钟这段时间可能出现什么情况？可能去加油、买东西、修车、去卫生间等。
第四，能用自己语言描述这辆汽车的行驶情况吗？0 - 2 分钟图像上升，是加速，速度由 0 增加到 30 千米每小时；2 - 6 分钟图像与横轴平行，是匀速行驶，速度为 30 千米每小时；6 - 8 分钟图像下降，是减速，速度由 30 千米每小时减少到 0；8 - 10 分钟停止；10 - 12 分钟图像上升，是加速，速度达到 30 千米每小时；12 - 16 分钟图像与横轴平行，是匀速行驶，速度为 30 千米每小时；16 - 18 分钟图像下降，是减速行驶，速度由 30 千米每小时减少到 0。这就是前面学的速度 - 时间型，上升是加速，水平是匀速，下降是减速。