师：各位同学，大家好！今天让我们一起来学习人教版高中生物学选择性必修2第一章第二节种群数量的变化第一课时。第一课时的学习内容是建立种群增长模型的办法，以及种群数量的J型增长和S型增长两种增长方式。
大家在购买面包时，是否会注意到新鲜面包的保质期通常只有2到3天？为什么新鲜面包的保质期这么短？过了保质期的面包是否还能继续食用呢？有同学可能会想到，过期面包可能会有大量的细菌，面包可以为细菌的繁殖提供良好的营养条件。少量细菌在面包上短时间内就可以繁殖出数以亿计的细菌。细菌的种群数量是如何增长的？为什么短时间内细菌的数量增长如此之快呢？为了搞清这个问题，我们可以采用建立数学模型的方法来分析细菌种群数量变化的情况。在建立模型之前，我们首先需要了解细菌增殖的特点。请同学们观看视频，并尝试总结细菌繁殖具有哪些特点呢。
生：（观看视频）
师：通过视频我们可以发现细菌的繁殖有如下特点：一、细菌以分裂的方式进行增殖，即细菌繁殖一代后数量会变为原来的两倍。二、细菌在营养和生存空间没有限制的情况下繁殖速度很快，大约20分钟就可以繁殖一代。为了简化我们的研究条件，我们假设面包可以为细菌提供无限的资源和空间，并且细菌种群的增长不受种群密度增加的影响。一段时间后细菌的种群数量会如何变化呢？如果初始的时候只有一个细菌，那么20分钟之后细菌分裂一次，此时细菌的数量变为两个。40分钟后细菌完成第二次分裂，此时细菌的总数为4个。60分钟后，细菌完成第三次分裂，细菌的总数为8个。按照这个规律，如果繁殖n代以后，细菌的种群数量可以如何表示呢？
生：通过观察我们可以发现细菌繁殖一代、二代和三代后，其细菌数量为2个、4个和8个，即2的一次方、2的二次方和2的三次方。因此我们可以归纳出繁殖n代后细菌的种群数量Nn记为2的n次方。
师：这是一个细菌繁殖n代后的种群数量。而如果初始的细菌数量为N?，那么我们可以如何修正这个公式呢？
生：我们可以在原公式的基础之上乘以N?，以考虑初始细菌数量对结果的影响。
师：这样我们就得到了一个比较完善的数学公式，这个公式当中的N?代表种群的初始种群数量，r表示的是增长的倍数，而n代表增长的代数。通过这个数学公式我们就可以描述细菌的种群数量增长情况了，像这样用来描述一个系统或它的性质的数学形式，我们称之为数学模型。
数学公式是数学模型的常用表示方式，但是它不能很好地展现出种群数量的变化趋势。有没有其他的模型表现形式可以更加直观地表示细菌种群数量变化的趋势呢？
生：我们可以绘制细菌数量变化的曲线图。
师：请同学们计算一个细菌产生的后代在不同时间的数量，填写在教材第8页的表格当中，并根据数据绘制出细菌数量变化的曲线图。
生：（计算并绘制曲线图）
师：按照公式，我们可以很快地计算出每个时间细菌数量，然后我们将不同的时间对应的细菌的种群数量绘制在图中，并将其用平滑的曲线连接起来，这样我们就得到了细菌种群的增长曲线。
数学公式和曲线图都是数学模型的常用表示方式，它们各自有什么优点和缺点呢？
生：曲线图非常直观，可以清晰地呈现变化的趋势，但是不够精确。而数学公式十分精确，可以准确计算细菌的数量，但不如曲线图直观。
师：两种表现形式各有优劣，应该按照具体需要选择相应的表现形式。
根据这个模型，我们回到最初的问题，如果一个细菌在经过保质期三天，也就是72小时后，其分裂产生的细菌数量是多少呢？
生：我们可以通过代入公式分析，细菌每小时可以分裂3次，而72小时细菌可以分裂216次。得到细菌的总数应为2的216次方。
师：那么细菌的数量会按照这个趋势一直增长下去吗？大家可能对刚刚得到的2的216次方这个数字没有直观的感知，这个数字大约是10的65次方。如果1万亿个细菌重一克，那么其总质量大约为10的50次方千克。这是一个相当大的数字。可见细菌是不可能按照这个趋势一直增长的，因为面包所能提供的营养物质和空间并不是无限的。我们可以通过实验的方式来验证我们这一观点。
因此在这个讨论当中，我们可以发现数学模型的使用往往有一定的适用范围，而且建立的数学模型也需要通过长期的实验和观察来对模型不断地检验、修正和完善。但这个推算也提醒我们，细菌具有巨大的繁殖潜能，新鲜食品在开封后应该尽快地食用。在刚才的讨论分析过程当中，同学们已经体验了如何运用建立数学模型的方法来解决生物学的实际问题。我们来总结一下它的基本步骤：第一步，我们通过观察细菌的分裂过程，提出了要研究的生物学问题。第二步，针对这一问题，我们提出了合理的假设，即在资源和空间没有限制的条件下，细菌的种群的增长不会受到细菌种群密度增加的影响。第三步，我们根据实验数据，用适当的数学形式对事物的性质来进行表述，即建立数学模型。我们建立了细菌的数学公式模型，还绘制了细菌种群数量变化的曲线图，它们是不同形式的数学模型。建立数学模型是否具有普适性还需要通过进一步的实验或观察等对模型进行检验或修正，这是建立模型的第四步。
在本节课的第二课时，我们将通过观察酵母菌的种群数量变化，对建立的数学模型进行检验和修正。这四个步骤我们也可以简单概括为：提出问题、做出假设、建立模型、检验修正。刚才我们得到的增长模型只是理想条件下的推测，在自然界中种群的数量变化情况是怎么样的呢？现在请同学们阅读教材第8页资料一和2，分析自然界种群数量增长的实例。
生：（阅读资料）
师：我们来看资料一，1859年，一位来到澳大利亚定居的英国人在他的农场中放生了24只野兔。没想到一个世纪后，这24只野兔的后代竟超过了6亿只。短短100年间，野兔的数量增长了2000余万倍。漫山遍野的野兔与牛羊争食牧草、啃啮树皮，造成了严重的生态危机，直至人们引入了黏液瘤病毒，才使种群的数量得以控制。
资料二，二十世纪30年代，人们将环颈雉引入到某地的一个岛屿。在5年间种群的数量增长如图所示。可以看到其增长趋势与我们刚才描述的细菌的种群增长十分相似。两则资料均显示，当动物迁入一个新的适宜环境后，如果食物和空间资源充裕，气候也适宜，几乎没有天敌，动物强大的繁殖能力得以展现，种群确实可以出现类似理想条件下细菌数量增长的增长模式，此时种群的增长曲线大致呈英文字母J型，这种增长类型我们称为种群的J型增长。
我们尝试来为这种J型增长建立一个数学模型，这个模型描述的是食物和空间充裕、气候适宜、没有天敌和其他竞争物种等条件下的种群数量增长情况。假如种群的初始数量为N?，且每年可以以一定的倍数增长，我们可以用λ来表示这个增长倍数，即第二年的种群数量是第一年的λ倍，则种群繁衍t年后的种群数量可以如何表示呢？