https://www.zhuzhigao.com/shuxue/多版本课堂实录，数学课堂教学好帮手！https://www.zhuzhigao.com/shuxue/5481.html<p>　　师：亲爱的同学们，大家好！我们一起来学习人教版八年级下册第16章16.3第一课二次根式的加减。来看本节课的学习目标：一、了解二次根式的加减运算法则；二、会进行简单的二次根式加减运算。下面正式开始上课。</p><p>　　之前我们学习了二次根式的乘除，今天来探究二次根式的加减。在探究法则前，看问题一：把两个面积分别为8平方分米和18平方分米的正方形木板拼在一起，AE的长为多少分米呢？我们知道正方形边长的平方等于面积，反过来边长就等于面积的算术平方根。所以两个正方形的边长分别为$\sqrt{8}$分米和$\sqrt{18}$分米，那么AE可以表示为AB + BE，也就是$\sqrt{8}$ + $\sqrt{18}$ 。这是一个二次根式加法的算式，该怎么运算呢？回顾二次根式的乘法，$\sqrt{a}$ × $\sqrt{b}$ = $\sqrt{ab}$（$a\geq0$，$b\geq0$），由此能否推出二次根式的加法是$\sqrt{a}$ + $\sqrt{b}$ = $\sqrt{a + b}$呢？这个等式成立吗？不妨代入这道题的两个数值验算一下。</p><p>　　用计算器算出$\sqrt{8}$ + $\sqrt{18}$ ≈ 2.8 + 4.2 ≈ 7，而$\sqrt{8 + 18}$ = $\sqrt{26}$ ≈ 5.1 。显然，$\sqrt{8}$ + $\sqrt{18}$ ≠ $\sqrt{8 + 18}$，所以刚刚的猜想不正确。那$\sqrt{8}$ + $\sqrt{18}$到底怎么算呢？观察发现$\sqrt{8}$和$\sqrt{18}$可以化简，$\sqrt{8}$ = $\sqrt{2×22}$ = 2$\sqrt{2}$，$\sqrt{18}$ = $\sqrt{2×32}$ = 3$\sqrt{2}$ 。那么这个算式就变成2$\sqrt{2}$ + 3$\sqrt{2}$ 。这里两个二次根式都含有$\sqrt{2}$ ，之前学实数时知道有理数的运算律和运算法则在实数中仍然适用，所以可以用分配律继续运算，把$\sqrt{2}$提出来，得到(2 + 3)×$\sqrt{2}$ ，结果是5$\sqrt{2}$ 。也就是说把$\sqrt{8}$和$\sqrt{18}$分别化成最简二次根式后，被开方数都是2，就可以用分配律运算。由此可知，二次根式加减时，要先将二次根式化成最简二次根式。下面来做几道二次根式加减的题目。</p><p>　　第一题，$\sqrt{9x}$ - $\sqrt{x}$ 。按照刚才说的方法，先将$\sqrt{9x}$化简，得到3$\sqrt{x}$ - $\sqrt{x}$ 。这里两个被开方数都是x，可以用分配律继续运算，得到2$\sqrt{x}$ 。同时发现这个过程很类似整式的加减合并同类项，就是把被开方数相同的二次根式进行合并。</p><p>　　第二小题，$\sqrt{27}$ + $\sqrt{20}$ 。第一步还是先将$\sqrt{27}$和$\sqrt{20}$分别化简，得到3$\sqrt{3}$ + 2$\sqrt{5}$ 。这里两个二次根式的被开方数分别是3和5，不相同，不能用分配律继续运算，所以3$\sqrt{3}$ + 2$\sqrt{5}$就是最后的计算结果。</p><p>　　第三题，$\sqrt{2a}$ + $\sqrt{\frac{8}{9}a}$ 。这道题中$\sqrt{\frac{8}{9}a}$形式复杂，先化简它，分子8写成2×22，分母9写成32 ，化简结果是$\frac{2}{3}$$\sqrt{2a}$ 。那么第一步就是$\sqrt{2a}$ + $\frac{2}{3}$$\sqrt{2a}$ 。这里两个被开方数都是2a，可以用分配律进行合并，得到$\frac{5}{3}$$\sqrt{2a}$ 。同学们注意，$\frac{5}{3}$$\sqrt{2a}$不能写成$1\frac{2}{3}$$\sqrt{2a}$，根号外的数不能写成带分数。</p><p>　　借助这道题小结一下二次根式加减的一般步骤：二次根式加减时，先将二次根式化成最简二次根式，然后把被开方数相同的二次根式进行合并。合并的依据是分配律，这个过程类似合并同类项。下面看看问题3的三个小题是否正确。</p><p>　　第一题，$\sqrt{80}$ - $\sqrt{45}$ = $\sqrt{80 - 45}$ = $\sqrt{35}$ ，这个做法错误。前面小结过二次根式加减要先化成最简二次根式，所以要先把$\sqrt{80}$和$\sqrt{45}$化简，得到4$\sqrt{5}$ - 3$\sqrt{5}$ ，正确结果是$\sqrt{5}$ 。</p><p>　　第二题，$\sqrt{9a}$ - $\sqrt{25a}$ = 3$\sqrt{a}$ - 5$\sqrt{a}$ = -2 ，这个小题也错。这道题虽先把两个二次根式化成最简二次根式，但刚刚也说过，将被开方数相同的二次根式合并类似合并同类项，不能漏掉$\sqrt{a}$ ，正确结果是 -2$\sqrt{a}$ 。</p><p>　　第三题，$\sqrt{27a}$ + $\sqrt{48}$ = 3$\sqrt{3a}$ + 4$\sqrt{3}$ = 7$\sqrt{3a}$ 。这里两个二次根式化成最简二次根式后，被开方数分别是3a和3 ，不相同，不能合并，所以3$\sqrt{3a}$ + 4$\sqrt{3}$就是最后的计算结果。结合前面的题目，用一个流程图小结二次根式加减的一般步骤：二次根式加减时，先将二次根式化成最简二次根式，然后判断被开方数是否相同。如果相同，直接合并；如果不同，最后一步的式子就是计算结果。前面看到的都是二次根式直接加减的题目，下面看问题4，$\sqrt{5}$与二次根式a可以合并，那么二次根式a可以是什么呢？请写出一个符合要求的答案。</p><p>　　既然二次根式a与$\sqrt{5}$可以合并，说明a化成最简二次根式后被开方数是5 。也就是说a可以是$\sqrt{5}$、2$\sqrt{5}$、 - 5$\sqrt{5}$、$\frac{\sqrt{5}}{5}$这样的最简二次根式。当然也可以是$\sqrt{20}$、 - $\sqrt{125}$、$\sqrt{\frac{1}{5}}$等等二次根式，因为这些二次根式化成最简二次根式后，被开方数是5 。再次强调，二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同的才能合并。</p><p>　　最后看问题5 。这道题和前面的问题一有关，现在有一块长方形木板，长为7.5分米，宽为5分米，根据图样，能不能在这块木板上截出问题一中的两个正方形木板呢？回顾问题一，两块正方形木板的边长分别为$\sqrt{8}$分米和$\sqrt{18}$分米。要解决这个问题，先考虑长方形木板的宽是否足够。显然小正方形边长小于大正方形边长，所以只要考虑大正方形边长$\sqrt{18}$和长方形宽5的大小关系，5可以写成$\sqrt{25}$ ，就能得出它们的大小关系。第一步因为$\sqrt{8}$ ＜ $\sqrt{18}$ ＜ $\sqrt{25}$，所以$\sqrt{8}$ ＜ $\sqrt{18}$ ＜ 5 ，宽是足够的。</p><p>　　接下来考虑长方形木板的长是否足够，也就是比较正方形边长之和与长方形长7.5的大小关系。这里正方形边长之和是$\sqrt{8}$ + $\sqrt{18}$ ，化简合并得到正方形边长之和是5$\sqrt{2}$ ，而7.5可以写成5×1.5 。所以只要比较$\sqrt{2}$和1.5的大小关系，我们知道$\sqrt{2}$ ≈ 1.414 ，小于1.5 。所以5$\sqrt{2}$ ＜ 5×1.5 ，也就小于7.5 ，长也是足够的。</p><p>　　综合来看，宽足够，长也足够，所以可以得出结论：可以在这块长方形木板上截出两个面积分别为8平方分米和18平方分米的正方形木板。通过这道题，再次强调在二次根式加减时，要先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并。此外，这道题还要注意比较两个实数大小的常用方法，比如这里有准确值的比较大小，像$\sqrt{8}$ ＜ $\sqrt{18}$ ＜ $\sqrt{25}$ ；也有近似值的比较大小，如$\sqrt{2}$ ≈ 1.414 ，小于1.5 。</p><p>　　最后小结本节课内容：这节课从计算两个正方形边长之和$\sqrt{8}$ + $\sqrt{18}$入手，首先验证了$\sqrt{a}$ + $\sqrt{b}$ = $\sqrt{a + b}$不成立，然后将$\sqrt{8}$和$\sqrt{18}$分别化简，用分配律完成计算。接着类比整式的加减，得出二次根式加减的方法：一般二次根式加减时，先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并，合并依据是分配律。</p><p>　　以上就是本节课的内容，下面布置作业。请同学们课后认真完成课本13页练习第一题、第二题的第一小题，15页习题16.3第一题1、2、3小题和第二题。今天的课就到这里，谢谢同学们的观看，再见。</p>Fri, 09 Jan 2026 11:57:52 +0800https://www.zhuzhigao.com/shuxue/5480.html<p>　　师：同学们大家好，今天我们一起学习六年级下册第四单元的内容。请检查一下，这些学习用品你准备好了吗？这是今天的学习目标。同学们，你们还认得这个吗？没错，这是一支笔，还有这些也都是笔。那你能算出它们的比值吗？请在练习本上写一写、算一算吧。</p><p>　　生：（学生们在练习本上计算）</p><p>　　师：大家都算完了吗？我们一起来核对一下，你都算对了吗？仔细观察每一组的比值，你发现了什么？</p><p>　　生：（思考并回答）每一组的比值都相等。</p><p>　　师：善于观察的你一定发现了，每一组的比值都相等。以第一组为例，3 : 5和6 : 10的比值都是3/5，说明这两个比相等。那我们可以用什么数学符号来表示它们之间的相等关系呢？</p><p>　　生：用等号连接。</p><p>　　师：没错，我们可以用等号连接。你能仿照刚才的做法，也把这两组比写成等式吗？请在练习本上写一写吧。</p><p>　　生：（在练习本上书写）</p><p>　　师：都写完了吗？我们一起来看一下。我们先来看第二组，4比1/3和2.4 : 0.2的比值都是12，所以4比1/3等于2.4 : 0.2。那第三组，20 : 14和30 : 21的比值都是10/7，所以20 : 14等于30 : 21。你都写对了吗？仔细观察这些式子，它们有什么相同的地方呢？</p><p>　　生：每个式子都有两个比，而且两个比都相等。</p><p>　　师：你发现每个式子都有两个比，而且两个比都相等。这些式子我们都叫做比例。现在你能尝试说说什么是比例吗？</p><p>　　生：像这样表示两个比相等的式子叫做比例。</p><p>　　师：没错，像这样表示两个比相等的式子叫做比例，这就是比例的意义。请大家继续观察这些比例，因为比除了可以写成比号的形式，还可以写成分数的形式，所以比例也有两种表示方法。那这个比例你会读吗？没错，这里应该读作3 : 5等于6 : 10。那这个呢？我们应该读作20 : 14等于30 : 21。请大家再读一次。刚才我们学习了比例的意义，那你能运用比例的意义来判断两个比是否能组成比例吗？我们一起来挑战一下，下面哪组中的两个比可以组成比例，为什么？请大家想一想，写一写。</p><p>　　生：（思考并书写）</p><p>　　师：同学们有想法了吗？我们要判断两个比是否能组成比例，可以怎么做呢？</p><p>　　生：根据比例的意义，先计算出两个比的比值，看它们是否相等再来判断。</p><p>　　师：没错，根据比例的意义，我们可以先计算出两个比的比值，看它们是否相等再来判断。同学们真会学以致用，现在我们运用这个方法来看看这两道题。第一题中，因为6 : 10等于0.6，9 : 15也等于0.6，两个比的比值相等，所以这两个比能组成比例，6 : 10等于9 : 15。第二题中，因为20 : 5等于4，1 : 4 = 0.25，两个比的比值不相等，所以不能组成比例。同学们，你们都判断对了吗？比例是由两个相等的比组成的，抓住这个关键，我们就能轻松判断两个比是否能组成比例。我们知道组成比的两个数分别叫做比的前项和后项。那比例呢？组成比例的四个数都叫做比例的项。两端的两项6和15，叫做比例的外项，中间的两项10和9叫做比例的内项。这个大家都很容易理解，外面的是外项，中间的是内项。但是如果我把这个比例写成分数的形式，你还能指出它的内项和外项吗？我们不妨先来读一下，6 : 10等于9 : 15，6和15依然是外项，10和9依然是内项。</p><p>　　生：（理解并确认）</p><p>　　师：虽然写法不同，但内项和外项是不变的，现在大家应该都会辨认比例的外项和内项了。让老师来考考大家，你能指出下面比例中的外项和内项吗？请你想一想，说一说。</p><p>　　生：（思考并回答）</p><p>　　师：想到了吗？我们一起来看第一题。4和2是外项，1/3和24是内项。第二题，5 : 3等于10 : 6，5和6是外项，3和10是内项。同学们，你们都做对了吗？通过刚才的学习，我们已经知道了什么是比例，以及比例的各部分名称和不同的表示方法。其实生活中处处有比例，请看，这是我们的国旗，五星红旗是我们祖国的象征，是我们每一名中国人的骄傲。这是这三面国旗的尺寸。请你写出每面国旗的长和宽的比，并求出比值，看看能否从中找到比例。</p><p>　　生：（计算并寻找比例）</p><p>　　师：你们都找到了吗？我们一起来看，天安门广场的国旗，长和宽的比是5比10/3，比值是3/2。那学校操场的国旗2.4 : 1.6，比值也是3/2。教室里的国旗60 : 40，比值还是3/2，比值都相等。我们可以从中选取比组成比例吗？</p><p>　　生：可以。</p><p>　　师：是的，天安门广场和学校操场的国旗长和宽的比值都是3/2，比值相等，所以这两个比能组成比例。学校操场和教室里国旗的长和宽之比，比值也都是3/2，所以这两个比也可以组成比例。那天安门广场和教室里国旗的长和宽之比，比值也相等，这两个比同样可以组成比例。根据比例的意义，比值相等的两个比就可以组成比例。这里每两面国旗的长和宽的比值都相等，所以可以组成这些比例。刚才我们研究了这几面国旗的长比宽，发现它们的比值都是3/2，与中华人民共和国国旗法的规定是一致的。因此，照这样的比做成的国旗，无论大小，任意两面国旗，它们的长跟宽的比都可以组成比例。</p><p>　　在生活中，我们找到了国旗中的比例，请再来看，这是老师的照片，想看清楚一点吗？没问题，老师把它放大成这样。哪张照片的尺寸可以和原图尺寸组成比例呢？</p><p>　　生：是C。</p><p>　　师：你是怎么判断的？</p><p>　　生：只有在照片C当中，老师的样子才是和原图一致，没有变形的。</p><p>　　师：大家能依据生活的经验进行判断，真棒。那你能在这两张照片的数据中找到比例吗？请在练习本上写一写。</p><p>　　生：（在练习本上书写）</p><p>　　师：写完了吗？我们先来看原图的长和宽的比是3 : 2，放大后照片的长和宽的比是6 : 4，比值都是3/2，比值相等，所以这两张照片的长和宽的比可以组成比例。那你还能找到其他的比例吗？</p><p>　　生：C照片的长和原图的长的比是6 : 3，宽的比是4 : 2，比值相等也能组成比例。</p><p>　　师：是的，只要找到比值相等的两个比就可以组成比例，这里的比例可不止这两个哦。</p><p>　　我们继续来找生活中的比例，请看在同一时间、同一地点，小蓝的身高是1.5米，他的影长是3米，而旁边的大树高2.5米，影长是5米。你能在下图中找到比例吗？请在练习本上写一写。</p><p>　　生：（在练习本上书写）</p><p>　　师：写完了吗？我们一起来看。我们可以研究影长和高度的比。小蓝的影长比身高是3 : 1.5 = 2。树影比树高5 : 2.5也等于2。比值相等，所以能组成比例，3 : 1.5等于5 : 2.5。所以同一时间、同一地点影长和高度的比可以组成比例。在生活中你还能找到其他的比例吗？看这个情境你熟悉吗？你能在这里找到比例吗？大家一起来找一找吧。</p><p>　　生：（寻找比例）</p><p>　　师：大家都找到了吗？这里我们可以研究总价与数量的比。3本笔记本总价30元，30 : 3 = 10；5本笔记本50元，50 : 5也等于10，比值相等，所以这两个比能组成比例，30 : 3等于50 : 5。再深入思考，这里的比值表示什么呢？</p><p>　　生：是单价。</p><p>　　师：没错，是单价。两个数的比表示两个数相除，总价除以数量等于单价不变。总价和数量的比也可以组成比例。</p><p>　　刚才我们找到了一些生活中的比例，下面我们来找找图形中的比例，在这个图的三角形里，你能找到比例吗？请把找到的比例写下来。</p><p>　　生：（在练习本上书写）</p><p>　　师：大家写完了吗？我们一起来看。我们先来研究大三角形AB比BC，3 : 4 = 3/4。那小三角形DE比EC，1.5 : 2也等于3/4，比值相等，所以这两个比能组成比例。那你还能找到其他的比例吗？其实这两个三角形之间这几条边的长度也能组成比例，看，AB比DE，3 : 1.5 = 2；BC比EC，4 : 2也等于2，这两个比的比值也是相等的，所以可以组成比例，3 : 1.5等于4 : 2。刚才通过计算我们发现这两个三角形里这些边的长度可以组成比例。其实我们可以把等号两边的比的前项和后项同时交换位置，得到两个新的比。通过计算验证这两个比的比值也是相等的，这样我们就可以得到一个新的比例。根据比例的意义，我们在图中的两个三角形里找到了比例，那在圆里呢。其实大小不同的两个圆，它们的周长与直径的比也能组成比例，你知道为什么吗？我们一起来分析。</p><p>　　生：（思考）</p><p>　　师：我们先来看小圆的周长和直径的比值是多少，没有数据啊。相信你一定想起来了，在上学期我们学习圆的周长的时候，已经知道了任意一个圆的周长与它直径的比值都是一个固定的数，这个数就是圆周率π，所以小圆的周长比小圆的直径等于π。那大圆的周长和直径之比，比值也是π，比值相等，所以大小不同的两个圆，它们的周长与直径的比可以组成比例。今天的学习内容在数学书第38、39页，请大家打开书本并用笔把重点画起来。</p><p>　　回顾今天的学习，我们从计算比值开始，学习了什么是比例、比例的不同表示方法以及其各部分的名称，还寻找到了生活中的比例，那比和比例之间又有什么区别和联系呢？请同学们想一想，试着说一说。</p><p>　　生：（思考并回答）</p><p>　　师：同学们有想法了吗？我们一起来对比。先来看看它们的区别，两个数的比表示两个数相除，那比例表示两个比相等的式子叫做比例，比例是一个等式，比有两项，而比例有4项，且名称不同。那它们之间有什么联系呢？我们知道比例是由两个相等的比组成的。比是比例的组成部分，大家都理解了吗？这是今天的课后作业。今天的课就上到这里，同学们，再见。</p>Fri, 09 Jan 2026 11:57:46 +0800https://www.zhuzhigao.com/shuxue/5479.html<p>　　师：今天我们继续学习直方图第二课时。本节课学习目标，一是进一步巩固频数分布直方图的画法，二是掌握用频数分布直方图描述数据的方法，学习重点是用频数分布直方图描述数据。首先回顾画频数分布直方图的基本步骤：第一步，计算最大值与最小值的差；第二步，决定组距和组数；第三步，列频数分布表；第四步，以横轴表示变量取值，纵轴表示频数，画频数分布直方图。我们还学过频数分布直方图的特点，它能够直观地显示数据的分布情况。</p><p>　　下面运用直方图相关知识，请同学们阅读并解决以下例题。题目要求列出样本的频数分布表并画频数分布直方图，我们想想相关步骤。第一步，计算最大值与最小值的差。在样本数据表格中，最大是7.4厘米，最小是4.0厘米，它们的差是3.4厘米。第二步，计算组距和组数。老师取组距是0.3，通过运算得到(11\frac{1}{3})，取整加一后，分成了12组。同学们可能会问，取其他组距可不可以？当然可以。当数据个数在100以内时，往往分成5 - 12个组就可以，太多或太少都不行。只要组距方便分组，分出来的组数合理，取别的组距也是可以的。下面老师以组距为0.3厘米、组数12做示范，继续往下列表和画图。</p><p>　　决定组距和组数后，第三步列频数分布表。先画一个表格，第一列是每一个分组，第二列是划记，第三列是频数。运用划记法对样本数据一一梳理登记，得到结果，再根据划记写出每一个分组对应的频数。这里有个小技巧，我们可以通过计算每一个小组对应频数的和，与样本总个数比较是否一致。比如这里求和等于样本总个数100，说明划记没数错；若不一致，就得检查是不是划记时数多或数漏了。列完频数分布表，就可以根据表格画频数分布直方图，画出来大致是这样。</p><p>　　画完图，老师追问一个问题，从图中能发现什么信息？从频数分布表和直方图中看到，直方图中间几个小长方形比较高，说明麦穗长度大多数落在5.2厘米到7.0厘米之间；其他范围的小长方形高度低，说明其他范围的麦穗较少。其中一个小长方形最高，它代表5.8厘米到6.1厘米之间的麦穗，说明这个范围的麦穗数量最多。另外通过小长方形高度，能发现麦穗范围在4.0 - 5.2、7.0 - 7.6厘米之间的根数很少，结合频数分布表就能算出对应的频数。从频数分布表和直方图可以清晰看到数据的分布情况，下面重点学习运用直方图描述数据。同学们请看例题一。</p><p>　　第一小问问组距和组数。从直方图或表格看，一个小组两个端点之间的差值，比如49.5 - 19.5，可确定组距是10。观察直方图有5个小长方形，所以组数是5。第二小题问哪个范围人数最多。从直方图看，第四个小长方形最高，写出它对应的范围，这个范围内人数最多，一共有14个人。第三小题问，如果分数大于或等于80分算优秀，一共有多少人？从表格或图中看到，满足优秀条件的是第4和第5小组，对应的人数和是19人。下面请同学们看例题。</p><p>　　从直方图可对应读出每个小组的频数，第一小组是6，第二小组是10，第三小组是16，第四小组是12，最后一个小组是6。第一小问问总人数，列出式子求和，算出总人数是50，即抽取了50名男生测量身高。第二小题问哪个范围内男生人数最多，从直方图看小长方形高低，最高的是第三个小长方形，所以第三小组男生人数最多。第三小问要估计人数，这既考察读直方图描述数据，也考察用样本数据估计总体情况。先看样本里170及170厘米以上的人数，即第4和第5小组对应的频数，读图可知分别是12和6，共18个学生满足身高条件。算出总人数与它的比值，估计出身高是170及170厘米以上的人数占比，再乘以300个男生的人数，估计出总体中满足条件的有108人。通过这两道例题，同学们学会在直方图中读取数据或用直方图描述数据的办法了吗？下面用几个课堂练习考考大家，请看练习一。</p><p>　　这道题目问第4小组的频数。从直方图读出其余各小组频数，第一小组是2，第二小组是6，第三小组是20，最后一个小组是8。用总数50减掉其他小组频数，算出第四小组频数是14，所以这道题选C。下面请同学们思考练习第二题。</p><p>　　第一小题要求补全直方图。画图要知道30 - 40分钟这个小组对应的频数，先从图中读出其余各小组频数分别是82、43和2，通过总数算出要求的这个小组频数是3。在30 - 40分钟对应位置找到3的高度画出小长方形，就完成补全图像了。第二小问问哪个范围人数最多，看直方图小长方形高低，越高频数越大，这里第二小组最高，即10 - 20分钟范围内人数最多。第三小问问花费时间在30分钟以上的人数占全班人数的百分比，先读图，30分钟以上对应的是第4和第5小组，这两个小组共3 + 2 = 5个人，列出式子，记得乘以100%化成百分数。接下来请同学们思考练习第3题。</p><p>　　第一小题答案是扇形图，因为题目关键是说明一半以上国家的学生成绩在60 - 70分之间，从扇形图能看到百分比53.3%超过了50%，很好地说明了这一点。第二小题答案是直方图，因为要说明谁比谁多的问题，在直方图里通过小长方形高低能轻松说明，这里70 - 80分的小长方形高于50 - 60分的小长方形，说明这个分数段国家比50 - 60分的国家多。最后我们小结一下今天的课堂。</p><p>　　本节课主要讲在整理数据过程中，常通过绘图方法描述数据，我们学过的统计图有直方图、条形图、折线图和扇形图。不同统计图从不同侧面突出数据特点，这些不同侧面的描述有利于我们分析数据，进而得出想要的结论。最后是今天的课程作业，请完成课本150页，习题10.2第二、第四小题。这节课就上到这里，同学们再见。</p>Fri, 09 Jan 2026 11:57:40 +0800https://www.zhuzhigao.com/shuxue/5478.html<p>　　师：同学们，今天我们一起来学习用计算器计算。课前请准备好课本、练习本和计算器。我们来看这节课的学习目标：一是了解计算器常用键的功能和使用方法，正确运用计算器进行四则运算；二是借助计算器探索简单的规律。同学们，你们喜欢猜谜语吗？“一个东西真奇怪，上面布满方块，用手一摁，数出来，加减乘除算得快”，猜猜这是什么物品？</p><p>　　生：是计算器。</p><p>　　师：没错。上节课我们认识了中国古代的计算工具算盘，今天继续认识现代的计算工具——电子计算器。你们在哪些地方见过人们使用计算器呢？</p><p>　　生：在书店买书付账时、在超市购买生活用品时、在银行存取款时，都能看到计算器。</p><p>　　师：对，计算器在日常生活中很常见，款式也多种多样，有算数型计算器、科学型计算器等等。现在请大家拿出计算器，观察上面有什么，认识哪些常用按键？</p><p>　　生：首先能看到显示屏，输入数字和计算结果都能在上面显示。</p><p>　　师：大家找一找“on”或者“c”按键，这是开关键，也是清除屏键。按一下，显示屏显示出0，说明已开机，可以开始使用了。有些计算器有“off”键表示关机，有些计算器没有这个按键，候机一段时间会自动关机。再观察计算器，有0 - 9十个数字键，旁边是运算符号键，有加、减、乘、除和等于号，还有一些功能键，功能键的种类每个计算器可能不同。我们认识了计算器的按键，那会使用计算器吗？相信大家对计算器计算很感兴趣，下面跟着老师学习如何使用计算器。请看例一，用计算器算一算，386 + 179等于多少？大家试着按一按，算一算。刚才大家是如何操作的呢？</p><p>　　生：首先按开机键，屏幕显示0，接着按顺序输入386，屏幕显示386，然后找到加号键输入，接着输入179，最后输入等号键，屏幕显示出计算结果565。</p><p>　　师：同学们，计算结果和老师一样吗？如果一样，说明操作过程正确。老师相信大家还意犹未尽，现在请独立用计算器计算下面三道算式，把答案写在练习本上：825 - 138，26 × 39，312 ÷ 8。大家在计算时有遇到什么问题吗？</p><p>　　生：如果不小心输错了数字，该怎么办呢？</p><p>　　师：问得好。科学家们也遇到过这个问题，计算器上有一些按键可以帮忙。如果计算器上有右移键，每按一次就能删除最右边的一个数字，然后重新输入；如果有“CE”键，也就是部分清除键，按这个按键就能清除当前输入的整个数字；还可以直接按“AC”或者“CA”键，即全部清除键，清除所有输入数字，重新输入。大家不小心输入错误时，有这几种方法可以解决。当然，使用计算器时也要保持细心认真的好习惯。那使用计算器进行四则运算时需要注意什么呢？有个儿歌，我们一起读一读：“计算前先清屏，输入时按顺序，看清数，别按错，若输错按清除，重新输再计算。”同学们清楚了吗？计算器是目前人们广泛使用的计算工具，我们在生活中如何运用它呢？到生活中去看一看。同学们，去过广东省博物馆吗？广东省博物馆于2010年建成，是广东省唯一的省级综合博物馆、国家一级博物馆，里面收藏了很多珍贵的藏品。截至2016年12月，收藏了文物和古籍130785件，自然标本41960件。要求一共有多少件珍贵藏品，该怎么计算呢？</p><p>　　生：要求珍贵藏品的数量，包括文物、古籍和自然标本，得用加法解决，列式为130785 + 41960。</p><p>　　师：这种大数计算，我们可以借助计算器来帮忙，请大家拿出计算器算一算。</p><p>　　生：算得结果是172745件。</p><p>　　师：最后要答。文物是人类宝贵的历史文化遗产，保护好文物是我们青少年肩负的责任。同学们也可以利用假期和爸爸妈妈一起去参观学习。计算器可以帮助我们快速、准确地计算，特别是数据较大时，更能显示出它的威力。在日常学习中，文具也是我们的好帮手。看，学校老师为同学们准备了一些文具，这是购买文具的收据。请仔细看看这张收据，上面有哪些数学信息？</p><p>　　生：从收据上可以看到购买了三种文具，还有它们的数量、单价和金额。</p><p>　　师：这三个量的数量关系是什么呢？</p><p>　　生：单价乘以数量等于总价，也就是金额；反过来，数量等于总价除以单价。</p><p>　　师：分析完表格，能填出相应的数据吗？先想一想，然后拿出练习本进行笔算。有同学要分享做法，我们一起来看看。圆珠笔的金额该怎么求？</p><p>　　生：圆珠笔一共买了145支，一支3元，求金额列式就是145 × 3，通过笔算答案是435。</p><p>　　师：订书机的金额是多少呢？</p><p>　　生：订书机一共买了83个，一个15元，列式是83 × 15，列竖式算的答案是1240。</p><p>　　师：笔记本的数量是多少呢？</p><p>　　生：要求笔记本的数量要用总价除以单价，列式是768 ÷ 8，用竖式计算，答案是96本。</p><p>　　师：那合计是多少呢？</p><p>　　生：合计就是把所有的总价相加，435 + 1240 + 768，列竖式算的答案是2443元。</p><p>　　师：这几位同学思路很清晰，不仅根据数量关系列出算式，而且通过笔算算出了答案。收据是重要的交易凭证，可不能出错。下面请同学们拿出计算器，当个小会计员来帮他们验算。</p><p>　　生：我发现订书机的金额算错了，83和15的个位分别是3和5，所以积的个位应该是5。我用计算器计算得到1245。</p><p>　　师：这个同学会根据估算来分析判断结果的合理性，再用计算器来检验计算结果的正确性，真棒！所以合计也错了。</p><p>　　生：合计应该是435 + 1245 + 768，得到2448。</p><p>　　师：这样就能确保收据准确无误了。平时笔算之后还可以用计算器进行验算，养成细心严谨的好习惯。计算器还能帮助我们什么呢？接着看下面这道题，请先用计算器计算左边4个算式，把答案写在练习本上。观察这些答案，能发现什么规律？什么变了？什么不变？</p><p>　　生：第一道算式的积是四位数，其他都是五位数。</p><p>　　生：我发现积的首位上的数字比第二个乘数少一，而且积的首位和末位加起来刚好是9，中间是999。</p><p>　　生：我还发现用第二个乘数去乘9得到的结果，刚好是积的首位和末位。比如第一道算式是一九得9，末位是9；第二道算式是二九十八，所以积的首位是1，末位是8，中间都是999。</p><p>　　师：同学们真是善于观察，从不同角度发现规律。那能根据规律直接写出右边算式的答案吗？写在练习本上。</p><p>　　生：右边第一道算式，第二个乘数是5，所以积的最高位是4，积的最高位和末位上的数的和是9，所以末位是5，也可以用5去乘9得到45，所以积的首位和末位分别是4和5，中间是999。</p><p>　　生：第二道算式用7 × 9得到63，分别是在积的首位和末位，中间是999。</p><p>　　生：第三道算式是9 × 9 = 81，结果是89991。</p><p>　　师：我们刚才运用规律直接写出答案，探索正确吗？请大家拿出计算器进行检验。</p><p>　　生：通过计算器检验，答案是正确的。</p><p>　　师：回顾这道题，我们通过计算发现规律，然后运用规律直接写出答案。看来计算器不仅可以帮助我们进行大数计算，还能帮助我们发现和探索规律，真是个实用的工具。下面再利用它继续探索。请大家先用计算器计算前三题，发现了什么规律呢？</p><p>　　生：商的排序有规律，是1、2、123，也就是从自然数1开始逐一增加。</p><p>　　生：从第二道算式开始发现，当被除数是三位数时，商是两位数；当被除数是四位数时，商是三位数，也就是说商比被除数的位数少一。</p><p>　　师：我们从排序和位数发现了规律，现在请大家根据发现的规律写出其他算式的得数，写在练习本上。</p><p>　　生：第四道算式，根据规律被除数是五位数，所以商是四位数，从1开始排序，结果是1234。</p><p>　　生：第五道算式的被除数是六位数，所以商是12345。</p><p>　　生：最后一道算式，被除数一共有十位数，所以商有九位数，分别从1到9。</p><p>　　师：同学们真是既会观察又会推理，发现规律时，可以从位数和排序等方面去观察。大家从刚才的两道题中有没有发现数学很神奇和美妙？只要善于用心去发现，就能看到数学规律之美、神奇之美。通过这节课的学习，我们有哪些收获呢？</p><p>　　生：我们了解了计算器常用键的功能和使用方法，还运用计算器进行四则运算和验算，最后借助计算器探索简单的规律。</p><p>　　师：课后请大家完成课本第28页第一题和第4题，还可以查找资料，探索计算器上其他键的功能。课程到此结束，谢谢大家，再见。</p>Fri, 09 Jan 2026 11:57:34 +0800https://www.zhuzhigao.com/shuxue/5477.html<p>　　师：同学们，今天这节课，我们将在具体情境中理解求和思路，掌握用2 - 6的乘法口诀求和的方法，认识乘法和除法之间的关系。上节课我们探索了除法计算方法，了解除法算式求商思路，理解用乘法口诀求商的道理，体会了乘除法联系，还初步学会用乘法口诀求商的一般方法。乘法口诀既能解决乘法问题，也能解决除法问题。今天我们继续学习用2 - 6的乘法口诀求商。</p><p>　　同学们请看，这里有很多包子。从情境图中，你能知道哪些数学信息呢？</p><p>　　生：这里有6屉包子，1屉就是这样的一份。每屉有4个包子，一共有24个包子。</p><p>　　师：根据以上情境，你能写出哪些算式呢？并试着说一说算式表示的意思。</p><p>　　生：我写出的乘法算式是4×6，它表示桌面上有6屉包子，每屉有4个，求一共有多少个包子。</p><p>　　生：我写出除法算式24÷4，它表示把24个包子每4个装一屉，可以装多少屉。</p><p>　　生：我写的是24÷6，意思是把24个包子平均分成6屉，用这个除法算式可以求出每屉多少个。</p><p>　　师：因为观察角度不同，列出的算式不同，算式表示的意义也不同。在这三个算式中，4×6的结果可以用口诀“四六二十四”算出来，那剩下这两个除法算式商是多少呢？我们先回顾上节课学过的例一。例一中计算12÷3的时候，想3和几相乘得12，口诀“三四十二”，所以3×4 = 12，那么12÷3的商是4。算除法想乘法，用乘法口诀就可以求出商。现在回到这里，同学们，你能不能借助4×6 = 24这个乘法算式算出这两个除法算式的商？</p><p>　　生：老师，在计算24÷4的时候，我思考4和几相乘得24，口诀“四六二十四”，4×6 = 24，所以24÷4的商是6。</p><p>　　生：老师，我在计算24÷6的时候，想6和几相乘得24，口诀“四六二十四”，4×6 = 24，所以24÷6的商是4。</p><p>　　师：在这三个算式中，你发现了什么？</p><p>　　生：这三个算式都有24、4和6这三个数，24都表示24个包子，4都表示每屉装4个包子，6都表示一共有6屉。</p><p>　　师：我们还发现，在计算这两个除法算式的时候，都可以借助第一个乘法算式来确定它们的商。看来同学们观察得很仔细。同一个乘法算式可以帮助我们求出两个除法算式的商。因此在计算除法的时候，常常请乘法来帮忙，这样就把乘法和除法联系起来了。</p><p>　　下面请你根据以下画面写出一个乘法算式和两个除法算式。</p><p>　　生：我们写出的算式有2×5、10÷2和10÷5。</p><p>　　师：对于算式2×5，我们可以用口诀“二五一十”算出结果等于10。那么接下来我们能不能借助2×5 = 10这个乘法算式算出10÷2和10÷5这两个除法算式的商呢？</p><p>　　生：能。在计算10÷2的时候，想2和几相乘得10，根据口诀“二五一十”，2×5 = 10，所以10÷2的商是5。</p><p>　　生：在计算10÷5的时候，想5和几相乘得10，口诀“二五一十”，2×5 = 10，所以10÷5的商是2。</p><p>　　师：同学们回忆刚才求商的过程，你有什么发现吗？</p><p>　　生：这里的四个除法算式都借助了乘法口诀来求商。左边的这两道除法算式都用了“四六二十四”这句口诀得到商，右边的这两道除法算式都用了“二五一十”这句口诀来求商。</p><p>　　师：想一想，几的乘法口诀是由什么数来决定的呢？</p><p>　　生：在计算24÷4的时候，除数是4，想4的乘法口诀“四六二十四”。在计算24÷6的时候，除数是6，想6的乘法口诀，因为被除数都是24，所以它们都用了“四六二十四”这一句乘法口诀。</p><p>　　生：在计算10÷2的时候，除数是2，想2的乘法口诀“二五一十”。在计算10÷5的时候，除数是5，想5的乘法口诀，因为被除数都是10，所以它们都用了“二五一十”这一句乘法口诀。</p><p>　　师：对呀，在计算除法的时候，我们先看除数，除数是几就想几的乘法口诀，然后再看被除数是几，这样就能很快找到用哪句乘法口诀来帮助我们确定商。</p><p>　　同学们刚才所学的知识你会用了吗？我们来练一练。先看第一题，这里的3个小题，你打算怎么做？先独立思考，再把答案写下来。</p><p>　　生：第一题，16÷4，除数是4，想4的乘法口诀，被除数是16，确定用“四四十六”这句口诀，所以16÷4 = 4，商是4。</p><p>　　生：第二题，30÷5，除数是5，想5的乘法口诀，被除数是30，确定用“五六三十”这句口诀，所以30÷5 = 6，商是6。</p><p>　　生：第三题，30÷6，除数是6，想6的乘法口诀，被除数是30，确定用“五六三十”这句口诀，所以30÷6 = 5，商是5。</p><p>　　师：同学们，你的答案和这里的一样吗？在求商的时候，想几的乘法口诀是由除数决定的，所以我们应该先看除数。下面我们继续挑战第二题。先仔细观察这些算式，想一想它们之间的关系，然后说一说你有什么计算的好方法？</p><p>　　生：在计算这6个除法算式的时候，我都用了已知的乘法算式来帮忙。第一组算式中，20÷4想4乘几等于20，已知5×4 = 20，所以20÷4 = 5；20÷5想5乘几等于20，已知5×4 = 20，所以20÷5 = 4。第二组算式中，18÷3想3乘几等于18，已知6×3 = 18，所以18÷3 = 6；18÷6想6乘几等于18，已知6×3 = 18，所以18÷6 = 3。第三组算式中，15÷3想3乘几等于15，已知3×5 = 15，所以15÷3 = 5；15÷5想5乘几等于15，已知3×5 = 15，所以15÷5 = 3。</p><p>　　师：是的，在计算除法的商的时候，我们常常请乘法算式来帮忙。最后看第3题，你都会算了吗？请马上算一算。</p><p>　　生：25÷5，除数是5，想5的乘法口诀，被除数是25，确定用“五五二十五”这句口诀，所以25÷5 = 5。</p><p>　　生：36÷6，除数是6，想6的乘法口诀，被除数是36，确定用“六六三十六”这句口诀，所以36÷6 = 6。</p><p>　　师：今天我们学习的是数学书第19页用2 - 6的乘法口诀求商的例2以及对应的做一做，你收获了什么？例2让我们在具体情境中理解求和思路，继续学习了用2 - 6的乘法口诀求和的方法，还知道了用同一句口诀可以求得两个除法算式的商，感受到了乘法和除法算式之间的联系。有了这些知识储备，我们就能更好地解决更多的数学问题。同学们，这节课我们就上到这里，再见。</p>Fri, 09 Jan 2026 11:57:28 +0800https://www.zhuzhigao.com/shuxue/5476.html<p>　　师：今天我们学习人教版三年级上册第六单元多位数乘一位数练习二。本节课的学习目标是：一、进一步掌握因数中间或末尾有0的笔算乘法；二、会正确熟练地进行计算，培养运算能力。请同学们准备好数学书和学习用品，调整坐姿，开启今天的学习之旅。同学们，能快速计算出这些式子的结果吗？用前面学过的知识来计算这些因数中间或末尾有0的乘法算式，相信大家一定做得又对又快。</p><p>　　跳绳是一项很好的体育健身活动，广东省暑假跳绳比赛正如火如荼地进行着，同学们参赛热情高涨，每天坚持练习。我们先来看一段同学们的跳绳小视频。同学，你知道跳绳有什么好处吗？</p><p>　　生：跳绳可以让我们长高，它会对骨骼造成刺激，促进生长激素分泌，帮助身高增长。跳绳还能减肥，这是一项能量消耗巨大的运动。而且跳绳有利于提高心血管系统功能，它不受场地和时间限制，随时随地都能进行，在医学界被称为最完美的运动。</p><p>　　师：同学们说得很棒。让我们一起来看看这几位同学的跳绳数据。小明每分钟能跳103下，小强每分钟能跳207下，小刚每分钟能跳180下，他们都跳了3分钟，每个人各跳了多少下？你会列式吗？</p><p>　　生：要解决每人各跳多少下，用乘法列式计算。求小明跳的总数，就是求3个103是多少，列式为103×3；求小强跳的总数，就是求3个207是多少，列式为207×3；求小刚跳的总数，就是求3个180是多少，列式为180×3。</p><p>　　师：非常好。这三道题目你会笔算吗？因数中间或末尾有0的笔算乘法是上一节课学习的内容，我们一起来回顾一下计算方法。103×3，从个位起，用3依次去乘103的每一位。3乘个位的3得9，在个位写9；3乘十位的0得0，在十位写0占位；3乘百位的1得3，在百位写3，所以103×3 = 309，小明跳了309下。同样的，207×3，用3依次去乘207的每一位，3×7 = 21，向十位进2，个位写1；3乘十位的0得0，再加上进位数2得2，十位写2；3乘百位的2得6，在百位写6，所以207×3 = 621，小强跳了621下。最后180×3，因数末尾有一个0，可以用简便写法来计算。3和十位上的8对齐，3×8 = 24，向百位进2，十位写4；3乘百位的1得3，再加上进位数2得5，在百位写5；最后看因数末尾有一个0，就在乘得的积末尾添上一个0，所以180×3 = 540，小刚跳了540下。</p><p>　　同学们，在计算多位数乘一位数时，因数中间有0和没有0的笔算方法是相同的，都是从个位起，用一位数依次去乘多位数上的每一位，因数中间的0也要乘。因数末尾有0时，可以用简便写法来计算，将一位数与多位数中0前面的那个数字对齐并相乘，再看因数末尾有几个0，就在乘得的积末尾添上几个0。下面考大家第一题，下面的计算对吗？先看第一小题，从个位起用2依次乘308的每一位，2×8 = 16，向十位进1，个位写6，这里错把进位数1写在了十位上，导致计算出错。2乘十位的0得0，再加上进位数1得1，十位写1；2乘百位的3得6，百位写6，正确答案是616。</p><p>　　再看第二小题，5×5 = 25，向十位进2，个位写5；5乘十位的0得0，再加上进位数2等于2，这里忘记加进位数，十位应该写2；5乘百位的3得15，在百位写5，千位写1，正确答案是1525。第三小题，2×4 = 8，2乘十位的0得0，在十位写0占位，2×6 = 12，604×2 = 1208，这道题是正确的。同学们，请对比观察这几个算式，它们的因数中间都有0，而积的中间有的有0，有的没有0，关键要看个位上的数相乘满不满十或几十。因此，在计算多位数乘一位数时，因数中间有0，积的中间不一定有0。同学们，下面这道题你会算吗？试试看，做对了吗？因数末尾有0，可以用简便写法来计算。这里因数末尾只有一个0，而积的末尾却有3个0，这是为什么呢？原来8乘十位上的5得40，向百位进4，十位写0；8乘百位的2得16，再加上进位数4得20，百位写0，千位写2。这里十位和百位上的数都是通过计算产生的。最后因数末尾有一个0，在乘得的积末尾添上一个0，所以这道题积的末尾会有3个0。</p><p>　　同学们，你也是这样想的吗？再看看这两道题目，竖式中积的末尾应该添上几个0呢？先看第一小题，先用2去乘45得90，在十位补一个0，再看因数末尾有一个0，就在乘得的积末尾添上一个0，450×2 = 900，积的末尾有两个0。再看第二小题，先算7×12 = 84，因数末尾有一个0，在84的末尾添上一个0。</p><p>　　同学们，请对比观察这几个算式。因数的末尾都有一个0，而积的末尾有的是一个0，有的是两个、三个0，关键要看在计算时积的末尾会不会产生新的0。因此，在计算多位数乘一位数时，因数末尾有一个0，积的末尾有可能有一个0，也可能有两个或者更多个0。通过以上的练习，相信同学们对因数中间或末尾有0的多位数乘一位数的笔算方法更加熟练了吧。下面我们来练一练。</p><p>　　请看课本第69页第8题，观察一下这两组题目，这些都是因数末尾有0的乘法，其中一个因数不变，另一个因数在变化，它们的积会怎样变化呢？同学们赶紧算一算吧。请看，你做对了吗？因数末尾有一个0，算得的积末尾一定有0。我们一起来看一看350×4这道题目，积的末尾为什么会有两个0呢？是因为4乘十位上的5得20，积十位上的0是通过计算产生的，再添上因数末尾的一个0，此时积的末尾有两个0。请你仔细观察因数和积的大小变化，还有什么发现呢？</p><p>　　生：当一个因数不变，另一个因数越大，乘得的积也就越大。</p><p>　　师：真是个了不起的发现，这蕴含着以后会学习的积的变化规律。我们再来看一组题目，请看课本第69页第10题，算一算，你发现了什么？你们都做对了吗？观察这些算式，第一组因数7不变，4×7 = 28，因数的末尾有一个0，积的末尾添上一个0；因数的末尾有两个0，积的末尾添上两个0。第二组因数3不变，另一个因数末尾有一个0，积的末尾添上一个0。第三组因数2不变，另一个因数末尾有一个0，积的末尾也添上一个0。通过以上的题组，我们发现，当一个因数不变，另一个因数末尾有几个0，就在积的末尾添上几个0。</p><p>　　同学们，我们已经学习了多位数乘一位数的笔算方法，遇到一些稍复杂的计算时，有时我们可以留心观察并发现规律，将问题转化为学过的知识来巧算。例如课本第69页第12题，这是7个三位数的连加，该怎样计算呢？观察到这些都是连续的自然数，我们可以找到中间数984，通过移多补少的方法，从985补1给983，这两个加数转化为984；继续从986移2给982，从987移3给981，将这些加数都转化为984。想一想，转化后共有多少个984相加？</p><p>　　生：有7个984相加。</p><p>　　师：对，用乘法计算，984×7是我们本单元学习的内容。用竖式计算，积等于6888。同学们，数学知识都是有联系的，我们把复杂的加法算式转化成乘法算式，用学过的知识解决了这个题目。在遇到问题时，我们要善于观察，积极思考，灵活解决问题哦。今天这节课，我们重点练习了有关0的笔算乘法，同学们在做多位数乘一位数的题目时，要注意，因数中间有0和没有0的笔算方法是相同的，都是从个位起用一位数依次乘多位数的每一位，因数中间有0，积的中间不一定有0。因数末尾有0时，可以用简便写法来计算，因数末尾有一个0，积的末尾可能有一个0，也可能有两个或者更多个0。同学们，你都掌握了吗？下面是今天的课后作业：一、复习今天学习的内容；二、完成课本第68页第4题，第69页第9题。同学们，今天的这节课到此结束。谢谢大家的观看。</p>Fri, 09 Jan 2026 11:57:22 +0800https://www.zhuzhigao.com/shuxue/5475.html<p>　　师：同学们，大家好！今天很高兴和大家一起在广州共享课堂，学习六年级下册第三单元《圆锥的认识》例一的内容。上课前提醒大家，请做好课前准备，除了数学书、数学本等，还要准备圆锥形物体、三角形卡纸、小棒等。你准备好了吗？我们先来看看这节课的学习目标。同学们，我们前面已经认识了圆柱，知道圆柱是由三个面围成，底面是两个完全相同的圆，侧面是一个曲面，圆柱两个底面圆心之间的距离叫做高。这节课我们继续认识一种新的立体图形。同学们请看，这些物体的形状都有什么共同特点呢？</p><p>　　生：这些物体的形状都是圆锥体，简称圆锥。</p><p>　　师：没错，像这个艺术展览馆是一个圆锥形的建筑，还有小朋友喜欢吃的雪糕、铅锤等等，都是圆锥形的。想一想，前面我们是怎样观察圆柱的呢？你能用同样的方法观察圆锥吗？现在请你拿出一个圆锥形的物体仔细观察，然后阅读数学书31页，说一说圆锥是由哪几部分组成的，有什么特征。你观察好了吗？圆锥是由几部分组成的呢？它都有哪些特征？我们请小明来告诉我们吧。</p><p>　　生：通过观察和触摸发现，圆锥有一个顶点，它是由两个面围成的，底面是一个平平的面，是一个圆，侧面是一个曲面。</p><p>　　师：你们观察到的和小明一样吗？通过观察和触摸，我们知道圆锥有一个顶点，有一个底面是一个圆，还有一个侧面是一个曲面。我们知道圆柱两个底面圆心之间的距离叫做圆柱的高，那么圆锥有高吗？通过阅读课本，我们知道圆锥的顶点到底面圆心的距离是圆锥的高。现在请你完整地说说看，关于圆锥，你都知道了什么？</p><p>　　生：圆锥有一个顶点，侧面是一个曲面，它的底面是一个圆，圆锥的顶点到底面圆心的距离是圆锥的高。</p><p>　　师：学习了圆锥的这些知识，老师马上要考考你了。下面这幅图，哪两个点之间的距离是圆锥的高？请你动手选一选，别忘了说明理由。选好了吗？我们先来看点a到点b的距离，它是圆锥顶点到底面圆周上一个点的连线的距离，不是圆锥的高。再看点a到点c的距离，它表示的是圆锥的顶点到底面上非圆心的点的连线的距离，也不是圆锥的高。只有a、o这两点连接了圆锥的顶点和底面圆心，所以只有点a到点o的距离是圆锥的高。你知道什么是圆锥的高了，你能量出圆锥的高吗？现实生活中很多圆锥形的物体是无法切开的，想一想我们怎样才能测量出圆锥的高？你有什么好办法？测量的时候要注意什么才能量得更准确呢？</p><p>　　生：测量的时候圆锥的底面要放平，我们借助两把三角尺进行测量。看左边三角尺的边和圆锥的底面都与右边三角尺的边垂直，像这样可以测量出圆锥的高。</p><p>　　师：你会测量了吗？会了我们就马上练一练。下面测量圆锥高的方法，正确的是哪一个？为什么？你有答案了吗？我们来分析一下选项，一尺子没有垂直摆放，而且它测量的是圆锥顶点和底面圆周上一点的连线的距离，不是圆锥的顶点到底面圆心的距离，所以选项一不对。选项二尺子是垂直摆放的，看来选项二是对的，小亮有不同的想法，为什么呢？</p><p>　　生：原来尺子确实是垂直摆放的，但是尺子的零刻度没有对准圆锥的底面，所以这样测量出来的数据是不正确的。</p><p>　　师：小亮观察得可真仔细，像选项3这样测量出来的才是正确的。所以我们测量圆锥的高的时候，不仅要把尺子垂直摆放，还要把零刻度对准圆锥的底面，再读出顶点对应的高度，这样测量出来的才是圆锥高度的数据。我们已经知道，一个长方形以它的一条边为轴，旋转一周可以形成圆柱。想一想，圆锥也可以通过平面图形旋转一周得到吗？如果可以，应该是什么图形呢？</p><p>　　生：有的同学认为是三角形，也有的同学强调必须是直角三角形，还有的同学觉得直角梯形也可以。</p><p>　　师：我们不妨通过操作来帮助我们想象一下。这样吧，我们先从特殊图形直角三角形开始研究。这是一张直角三角形的硬纸，我们把它贴在木棒上，那么以直角三角形硬纸的哪条边为轴旋转可以形成一个圆锥的形状呢？我们先以直角边AC为轴快速转动木棒，看看转出来的是什么形状。现在请你拿出准备好的三角形硬纸，像这样转一转。转动之前，请同学们先想象一下转出来的是什么形状。请看。</p><p>　　生：旋转后形成了圆锥的形状。</p><p>　　师：这张直角三角形硬纸的直角边和旋转形成的圆锥之间有什么关系呢？对比观察之后，我们发现旋转轴所在的直角边AC的长度就是圆锥的高，另一条直角边BC是圆锥的底面半径。想一想，这张直角三角形硬纸还可以以哪条边为轴旋转形成圆锥的形状呢？</p><p>　　生：我们用直角边BC为轴再试一试。同样旋转之前，请先想象一下以BC边为轴旋转形成的形状是怎样的，和刚才一样吗？准备好了吗？现在我们把三角形纸片转起来。</p><p>　　师：看，又形成了一个圆锥的形状。同样，旋转轴所在的直角边BC的长度是圆锥的高，直角边AC是圆锥的底面半径。刚才我们分别以直角三角形硬纸的两条直角边为轴旋转形成了圆锥的形状。如果以斜边AB为轴旋转一周形成的还是圆锥的形状吗？请同学们充分发挥你的想象，完了请你把三角形纸片转起来。</p><p>　　生：这一次旋转形成的是一个由上下两个圆锥组合而成的立体图形的形状，不是一个圆锥的形状。</p><p>　　师：刚才我们进行了三次旋转，仔细观察旋转后形成的形状，一样吗？这就奇怪了，明明都是同一张三角形硬纸在旋转，为什么旋转后形成的形状会不一样呢？</p><p>　　生：旋转轴变了，形成的图形就可能跟着变。</p><p>　　师：再看看旋转后形成的两个圆锥的形状有什么不一样？</p><p>　　生：这两个圆锥的高度和底面的大小都不同。</p><p>　　师：现在对比三次旋转后形成的形状，你又发现了什么？</p><p>　　生：直角三角形要以直角边为轴旋转才能形成圆锥。</p><p>　　师：普通三角形或直角梯形旋转后会形成怎样的形状呢？有兴趣的同学下课后不妨动手试一试。同学们，我们刚才通过观察和操作认识了圆锥的特征，还以直角三角形硬纸的直角边为轴旋转形成了圆锥的形状。我们认识的立体图形的版图又扩大了。我们今天学习的内容是数学书第30页和第31页的例一，请同学们认真看书，看看还有什么不明白的地方，同时把重要的学习内容画一画，做好标记。做了这么多探究，我们要检验一下同学们的学习效果了。同学们大展身手的时候到了，先看第一题，请你说说哪个立体图形是圆锥。说完了吗？我们一起来看看你说的对不对。2号图形为什么不是圆锥？</p><p>　　生：2号图形它没有顶点，圆锥由两个面围成，2号图形是由三个面围成的。</p><p>　　师：4号图形呢？</p><p>　　生：4号图形有顶点，但是底面不是圆，而且它有4个侧面，也不是曲面，也不是圆锥。</p><p>　　师：5号图形呢？</p><p>　　生：5号图形是圆锥和圆柱的组合图形，也不是圆锥。</p><p>　　师：只有1号和3号图形是圆锥。圆锥都有一个顶点，侧面是一个曲面，底面是一个圆，紧扣圆锥各部分的特征就可以准确辨别出圆锥了。现在这里就有三个圆锥，请你指出它们的底面、侧面和高。请看，这是第一个圆锥的底面、侧面和高。第二个圆锥的摆放位置不同，这是它的底面、侧面和高。第三个圆锥顶点向下，这条线段的长度是这个圆锥的高，这是它的底面、侧面。不管圆锥怎么放置，圆锥的侧面都是一个曲面，底面是一个圆，它的高则是顶点到底面圆心的距离。同学们对圆锥各部分的特征掌握得真不错，刚才的立体图形都是静态的，如果是旋转形成的，我们来挑战一下吧。请同学们完成第三题。有答案了吗？</p><p>　　生：我们知道长方形以一条边为轴，旋转后会形成一个圆柱的形状，所以长方形和圆柱连线。直角三角形以直角边为轴旋转会形成一个圆锥的形状，所以直角三角形和圆锥连线。这个图形有点复杂，旋转后会形成怎样的形状呢？通过观察我们发现它是由直角三角形和长方形组合而成的图形，它的旋转轴是三角形的直角边和长方形的一条边所在的直线，所以它旋转形成的图形应该是由圆锥和圆柱组合而成的图形。同样的，最后这个图形是由直角三角形和正方形组合而成的图形，它的旋转轴是三角形的斜边和正方形的一条边所在的直线，所以它旋转后形成的图形就是它了。</p><p>　　师：你连对了吗？圆锥在生活中的应用很普遍，我们来看看这道题。这是一个圆锥形的模具，把这个模具从顶点向底面进行垂直切割，截面是一个等腰三角形，这个等腰三角形的高是12厘米，腰是13厘米，它的底是10厘米，请问这个模具有多高？底面半径有多大？这个模具放在桌面上占多大的地方呢？</p><p>　　生：把圆锥体从顶点向底面进行垂直切割，截面是一个等腰三角形，这个等腰三角形的高就是圆锥的高，所以这个模具的高是12厘米。等腰三角形的底就是圆锥底面直径，所以它的底面半径是10÷2 = 5厘米。求这个模具放在桌面占多大的地方，其实就是求它的底面积，模具的底面是一个圆，所以它的底面积是3.14×5的平方，等于78.5平方厘米。</p><p>　　师：你做对了吗？同学们认识了圆锥，有没有发现圆柱和圆锥有相似之处呢？你看，当圆柱其中的一个面，它的底面半径变小的时候，这个底面也跟着变小，继续变小。现在缩小为它的圆心，这一个点就是圆锥的顶点，最终变成了一个圆锥。原来圆柱和圆锥之间是有联系的，刚才大家已经认识了圆锥。圆锥在生活中还有很广泛的应用，除了前面提到的圆锥形的建筑、帽子、铅锤等等，圆锥还可以用在哪里呢？不知道同学们外出的时候有没有在地面上看到过这样的小土坑。这种小土坑和一种叫蚁狮的昆虫有关，蚁狮的幼虫以吃蚁类著称，故名蚁狮。蚁狮捕食会挖出一个洞穴作为陷阱，猜一猜这些陷阱是什么形状的？</p><p>　　生：圆锥形。</p><p>　　师：猜对了，就是圆锥形的。这样的形状对蚁狮捕食有什么帮助呢？</p><p>　　生：这个圆锥形的洞穴上宽下窄，蚂蚁或昆虫经过很容易掉进陷阱的底部，这个时候蚁狮就躲在洞穴中，等着享用掉进陷阱中的蚂蚁或其他昆虫。</p><p>　　师：如果你会用数学的眼睛去观察，就会发现生活中处处有数学。同学们，我们通过看一看、摸一摸，找出了圆锥的特征，通过量一量学习了测量圆锥高的方法，又研究了以直角三角形的边为轴旋转能不能形成圆锥的形状，还解决了有关圆锥在生活中的应用的问题。这节课你有什么收获呢？圆锥这么有趣，你还想认识圆锥的什么呢？我们下一节课继续。这是课后的作业。这节课我们就上到这里，谢谢大家的观看，同学们再见。</p>Fri, 09 Jan 2026 11:57:16 +0800https://www.zhuzhigao.com/shuxue/5474.html<p>　　师：同学们，今天我们学习数学六年级上册第五单元的第五课内容。请准备好上课需要使用的学习用品。这是本节课的学习目标，下面我们开始上课。同学们请看情境图，从图中你知道了哪些信息？</p><p>　　生：从图中知道每平方米草皮8元。</p><p>　　师：要求这个圆形草坪的占地面积是多少平方米，那要求这个圆形草坪的占地面积实际是求什么呢？</p><p>　　生：要求圆形草坪的占地面积实际就是求圆的面积。</p><p>　　师：非常对，今天我们就一起来探究圆的面积。那究竟什么是圆的面积呢？根据以前学过的面积的概念，物体的表面或围成的平面图形的大小叫做它们的面积。圆是由曲线围成的平面图形，所以圆所占平面的大小就是圆的面积。我们先来思考一下，你觉得圆面积的大小与圆的什么条件有关？</p><p>　　生1：我觉得圆的面积与圆的半径有关，因为前面认识圆的时候知道，圆的半径决定了圆的大小，半径越长圆越大，面积就大。</p><p>　　生2：我觉得圆的面积与π有关，因为圆周长是用πd或2πr计算的，所以我觉得圆的面积也与π有关。</p><p>　　师：同学们都能根据已学知识合理地进行猜想，真棒。是的，圆的半径或直径决定了圆的大小，半径或直径越长，圆的面积越大。现在我们还不会计算圆的面积，你有什么好的想法来探究圆的面积如何计算呢？</p><p>　　生：如果能把圆转换成会计算面积的平面图形，找到转换后平面图形与圆各部分的相等关系，就能推导出圆面积的计算方法了。</p><p>　　师：非常好，那我们先来回顾一下学过的几种平面图形的面积计算方法。先来看平行四边形，平行四边形的面积是怎么计算的？它的计算公式是怎么推导出来的呢？</p><p>　　生：我们通过剪拼法把平行四边形转换成长方形，根据拼成后的长方形和平行四边形各部分之间的相等关系，从而推导出平行四边形的面积计算公式是S = ah。</p><p>　　师：那三角形呢？</p><p>　　生：三角形，我们通过倍拼法把三角形转换成平行四边形，根据拼成后的平行四边形和三角形各部分之间的相等关系，从而推导出三角形的面积计算公式是S = 1/2ah。</p><p>　　师：那梯形呢？</p><p>　　生：梯形的方法和三角形相同，也是通过倍拼法把梯形转换成平行四边形，根据拼成后的平行四边形和梯形各部分之间的相等关系，从而推导出梯形的面积计算公式是S = 1/2×(a + b)×h。</p><p>　　师：通过刚才的复习，我们发现在推导平行四边形、三角形、梯形的面积计算公式的时候，我们都用了一个重要的数学思想，那就是转化思想。现在请同学们思考一下，圆能不能转换成一个我们会计算面积的平面图形呢？老师给点提示，圆是一个曲线围成的平面图形，而其他学过的平面图形都是由线段围成的平面图形。在不改变大小的前提下，怎么操作圆才能出现直直的线段呢？</p><p>　　生：沿直径剪开圆就能出现一部分直直的线段。</p><p>　　师：那我们先从数量比较少的情况开始研究，把圆沿直径平均分成4份。现在请同学们拿出把圆四等分的学具，自己动手尝试一下，看看能拼出什么情况。</p><p>　　（同学们动手操作后）</p><p>　　师：相信大家都有不少拼法，请看课件，这里展示了几种比较有代表性的拼法，你拼出的是其中一种情况吗？这里只是把圆平均分成4份，每一份的曲线还很明显，拼出的图形都不是我们学过的平面图形。但是有没有哪些拼法拼出的情况看上去比较接近其中一种平面图形呢？</p><p>　　生：像这样上下各两份相对着拼起来的情况，拼出的图形比较接近平行四边形。</p><p>　　师：那下面我们就继续往这个方向研究，把圆平均分的份数增加，看看拼出的图形是什么情况。由于平均分的份数增多，不便于操作，所以接下来的探究过程我们就请电脑课件来帮助完成吧。请看，现在把圆平均分成8份，像刚才那样，上面4份，下面4份，相对着拼起来，现在拼成的图形更像什么平面图形了？</p><p>　　生：现在更像平行四边形了。</p><p>　　师：再来看，把平均分的份数增加，把圆平均分成16份，继续用前面的方法拼起来。现在看上去拼成的图形更近似什么平面图形？</p><p>　　生：现在更近似平行四边形了。</p><p>　　师：把平均分的份数再增加，把圆平均分成32份，然后拼起来。现在看上去拼成的图形有点近似什么平面图形呢？</p><p>　　生：现在有点近似长方形了。</p><p>　　师：如果平均分的份数继续增加，然后拼起来，拼成的图形越来越接近什么平面图形呢？</p><p>　　生：当平均分的份数越来越多，拼成的图形就会越来越接近于长方形。</p><p>　　师：观察对比拼成后的长方形和圆之间有什么关系？</p><p>　　生1：拼成后的长方形的面积和圆的面积没有变。</p><p>　　生2：拼成后的长方形的长近似于圆周长的一半。</p><p>　　生3：拼成后长方形的宽近似于圆的半径。</p><p>　　师：非常棒。下面请你利用这些发现，自己尝试推导一下圆的面积计算方法可以吗？下面我们一起来看，把圆平均分成若干份，拼成近似的长方形。转换后长方形的面积和原来圆的面积相等，拼成后长方形的长近似于圆周长的一半，拼成后长方形的宽近似于圆的半径。我们已经知道了长方形的面积等于长乘宽，所以圆的面积就等于圆周长的一半乘半径。请同学们看着图，自己再把这个推导过程完整地说一说。下面我们来看看如何用字母来表示圆的面积计算公式。如果用S表示圆的面积，圆周长的一半就是C/2，半径就是r ，C/2可以写成πr，πr乘r可以写成πr2，所以圆的面积计算公式就是S = πr2。请同学们翻开书本67页，自己完成书上推导过程的填空。从上图中可以看出，圆的半径是r，长方形的长近似于圆周长的一半，也就是C/2，宽近似于圆的半径，也就是r。因为长方形的面积等于长乘宽，也就是a乘b，所以圆的面积等于圆周长的一半乘半径，也就是πr乘r等于πr2。</p><p>　　师：同学们知道吗？在我国古代很早就有数学家研究圆的面积了。在我国古代，数学经典《九章算术》在第一章“方田章”中写道，“半周半径相乘得积步”，也就是我们刚刚学会的圆的面积计算公式。为了证明这个公式，我国魏晋时期的数学家刘徽在《九章算术·方田章·圆田术注》中提出了“割圆术”。他认为圆内接正多边形的面积与圆面积之间都有一个差，用有限次数的分割是无法证明《九章算术》的面积公式的。因此，刘徽大胆把极限思想和无穷小分割引入到数学证明，“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”。也就是说，当圆内接正多边形的边数不断增加的时候，其面积与圆的面积的差就会越来越小。而当边数不能再增加的时候，圆内接正多边形的面积的极限就是圆的面积。在没有计算器的古代，刘徽用算筹就算出了正3072边形的面积，这是多么了不起的成就啊。</p><p>　　师：同学们，我们已经知道了圆的面积计算公式，那么你会运用公式计算圆的面积吗？下面来看第一个练习，请完成下表。第一行给出的条件是半径4厘米，根据直径是半径的两倍，很容易求出直径是8厘米。要求圆的面积，只需要用半径4厘米代入圆面积公式计算，S = πr2 = 3.14×42，算出面积是50.24平方厘米。第二行给出的条件是直径，我们可以先求出半径9÷2 = 4.5厘米，然后带入圆面积公式，计算出面积是63.585平方厘米。第三行给出的条件也是直径，同样先求出半径6÷2 = 3厘米，然后带入圆面积公式，计算出面积是28.26平方厘米。第四行给出的是半径20厘米，可以先求出直径是40厘米，然后用半径20厘米代入圆面积公式计算出面积是1256平方厘米。</p><p>　　师：同学们已经会根据所给出的条件正确运用公式计算圆的面积了。下面请看第二个练习，这题又提出了什么要求？</p><p>　　生：这题既要计算圆的周长，也要计算圆的面积。</p><p>　　师：好，请同学们先在练习本上算一算。我们先来看周长的计算。第一个图给出的条件是直径10厘米，我们可以带入周长公式计算，C = πd = 3.14×10 = 31.4厘米。第二个图给出的条件是半径3厘米，我们可以用另一个周长公式C = 2πr计算出周长是18.84厘米。我们再来看面积的计算。第一个图给出的条件是直径，可以先求出半径10÷2 = 5厘米，然后带入圆面积公式计算出面积是78.5平方厘米。第二个图给出的条件是半径直接带入圆面积公式计算就可以了，算出面积是28.26平方厘米。下面我们来对比一下圆的周长和圆的面积的计算方法，你有什么发现？</p><p>　　生：在计算圆的周长时，无论给出的条件是直径还是半径，我们都可以带入对应的公式直接计算。而计算圆的面积时，如果给出的条件不是半径，我们需要运用相关知识先求出半径，才能再计算圆的面积。</p><p>　　师：通过与周长计算方法的对比，相信同学们更清楚圆面积的计算方法了。那你会运用知识解决实际问题吗？下面我们来看第三个练习。茶几桌面是圆形，要求它的面积，实际就是求圆的面积。这里给出的条件是直径1米，我们可以先求出半径1÷2 = 0.5米，然后带入圆面积公式计算，S = πr2 = 3.14×0.52，算出面积是0.785平方米。答，它的面积是0.785平方米。下面增加解决问题的难度，请看第四个练习。这是本节课开始时出示的情境，现在给出了圆形草坪的直径，你能求出铺满草皮需要多少钱吗？</p><p>　　生：要求铺满草皮的总价，我们需要先求出圆形草坪的面积，现在给出的条件是直径，我们需要先求出半径20÷2 = 10米，然后带入圆面积公式计算，S = πr2 = 3.14×102，算出面积是314平方米。最后用草皮的单价乘面积求铺满草皮需要的总价8×314 = 2512元。</p><p>　　师：答，铺满草皮需要2512元。在解决一些生活实际问题时，我们除了要找到对应的条件计算圆的面积，还要分析基本的数量关系，才能正确解决问题。看来同学们已经掌握了圆面积的计算方法了，那通过这节课的学习，你有什么收获？</p><p>　　生1：通过这节课的学习，我们知道了当圆等分的份数越多，每一份就会越小，拼成的图形就越接近长方形。</p><p>　　生2：还知道了圆是曲线图形，可以转化为近似的直线图形来研究它的面积。</p><p>　　师：看来同学们各有各的收获。这是本节课的课后作业：一、复习书本67页的内容，熟读圆面积公式的推导过程。二、在作业本完成下面3题练习。课堂到此结束，谢谢大家的观看，再见。</p>Fri, 09 Jan 2026 11:57:10 +0800https://www.zhuzhigao.com/shuxue/5473.html<p>　　师：今天我们一起来学习八年级人教版数学第十二章第六课三角形全等的判定五、综合应用。首先明确学习目标：一、能够根据已知条件选用合适的判定方法证明两个三角形全等。二、能够运用三角形全等的判定性质解决线段相等和角相等的问题。</p><p>　　咱们先来回顾一下前面学过的5种判定三角形全等的方法。第一种，三边分别相等的两个三角形全等，简称边边边或SSS；第二种，两边及其夹角分别相等的两个三角形全等，简称边角边或SAS；第三种，两角及其夹边分别相等的两个三角形全等，简称角边角或ASA；第四种，两角相等，并且其中一组等角的对边也相等的两个三角形全等。这4种判定方法适用于一般三角形，还有一种HL只适用于直角三角形。当然，直角三角形这5种判定方法都能用。</p><p>　　在具体问题中，该如何选择合适的判定方法呢？来看例题一。如图，已知AB等于AD，要使三角形ABC全等于三角形ADC，还需添加一个条件。观察已知条件，有一对对应边AB等于AD，标注在图形上，再看图形还有一组公共边AC等于AC，这两个三角形已有两组对应边相等，添加一个条件就能构成三角形全等。不妨从SSS和SAS两个方法考虑，若用SSS，还缺第三组对应边相等，所以添加BC等于DC；若用SAS，还缺两边的夹角相等，所以添加角BAC等于角DAC。本题答案就是BC等于DC或角BAC等于角DAC，选一个填入即可。</p><p>　　这是已知两边对应相等，添加条件构成三角形全等的情况。再看第二问。如图已知AO等于BO，要使三角形AOC全等于三角形BOD，还需添加一个条件。把已知相等的对应边AO等于BO标注在图形上，观察图形，这两个三角形还有一组对顶角AOC和角BOD相等。现在已有一边一角对应相等，还需添加一个条件判定三角形全等。从SAS、ASA和AAS三个方法考虑，若用SAS，还缺夹角的另一边相等，添加OC等于OD；若用ASA，还缺夹边的另一个角相等，添加角A等于角B；若用AAS，还缺等边的对角相等，添加角C等于角D。所以本题答案是OC等于OD或角A等于角B或角C等于角D。</p><p>　　通过例一可知，在一般三角形中判定全等，首先要明确题目已知条件，包括图形隐含条件，确定有哪些相等的边角关系，看可能符合哪种判定方法。凑齐三个满足判定方法的边角条件，就能判断两个三角形全等。由三角形全等的性质，可得到其他对应边或对应角相等情况。来看例2。如图，点D在线段CE上，角C等于角E等于90度，AC等于DE，AD等于DB，求证角ADB等于90度。把条件标注在图形上，会发现在两个直角三角形ACD和直角三角形DEB中，已有斜边和一条直角边对应相等，符合HL判定方法，可证明直角三角形ACD全等于直角三角形DEB。书写时要强调三角形ACD和三角形DEB为直角三角形这个大前提，然后在RT三角形ACD和RT三角形DEB中列举斜边和直角边相等关系，由HL判定全等。由全等可得其他对应边相等和对应角相等结论。</p><p>　　哪个结论对求证角ADB等于90度有帮助呢？把角ADB附近的角标注出来，如图标出角1、角2、角3。由直角三角形全等可得对应角角1等于角2。又因为在直角三角形ACD中两锐角互余，可得角1加角3 = 90度，根据等量代换，角2加角3也等于90度。根据平角定义，所以角ADB等于90度，本题证明完毕。</p><p>　　回顾本题证明，为得到角ADB等于90度，利用证明两个直角三角形全等，得到角1等于角2这个关键角相等结论。在例2图形下，把结论中的角ADB等于90度与条件中的AD等于DB互换得到变式问题。同样先把已知条件展示在图形上分析。要证明AD等于DB，直观思路是证明AD、DB所在的两个直角三角形全等。但斜边AD、DB是结论，HL方法不适用。</p><p>　　联想例2，标注角ADB附近的角，如图标出角1、角2、角3。因为角ADB等于90度，根据平角定义，角2加角3 = 90度。又因为角1加角3 = 90度，根据同角的余角相等，可得角1等于角2。现在在两个直角三角形ACD和直角三角形DEB中，已有两角及其夹边对应相等，可根据ASA判定方法证明两个三角形全等。由全等性质进一步可得AD等于DB，本题证明完毕。变式问题条件变化，HL方法不适用，分析现有条件，最终选用ASA判定方法证明两个直角三角形全等，进而得到AD等于DB边相等结论。</p><p>　　对比例2及其变式问题，相同图形下，不同条件会产生不同的判定三角形全等方式。利用三角形全等这个桥梁，产生新的对应边相等、对应角相等结论，这一思路在更复杂综合应用问题中同样适用。来看例3。如图，点C在线段AB上，AD平行EB，AC等于BE，AD等于BC，CF平分角DCE，试探索CF与DE的位置关系，并说明理由。</p><p>　　先把条件标注在图形上。本题条件多、图形复杂。面对综合应用问题，通常有两种思考路径，执果索因，从要证明的结论出发逆向推导所需条件；由因导果，从已知条件出发推导能产生的结论。有时两种路径需同时使用，当指向同一结论时，整体思路基本形成。</p><p>　　回到例题3，从正向和逆向分步分析条件和结论降低思考难度。结论要探索CF与DE的位置关系，观察图形猜测CF与DE相互垂直。要得到CF与DE垂直，需满足什么条件呢？已知AD平行EB，可得内错角角A等于角B。还发现角A和角B的两边AD与BC、AC与BE对应相等，不难由SAS判定方法证明三角形ACD全等于三角形BEC，由此全等可得其他边相等或角相等结论。</p><p>　　哪个结论对推导CF垂直DE有帮助呢？回到结论逆向思考，要证明CF垂直DE，可证角DFC等于角EFC等于90度，这两个角恰好在三角形DCF和三角形ECF中，那就证三角形DCF全等于三角形ECF。观察图形，这两个三角形已有一角和公共边CF相等，已知一边一角相等，添加角的另一边CD和CE相等，而这个结论恰好可由前面三角形ACD全等于三角形BEC得到。至此，整体思路基本形成，接下来规范书写。</p><p>　　解：CF垂直DE。理由如下，因为AD平行EB，所以角A等于角B。在三角形ACD和三角形BEC中列举两边及其夹角分别相等，由SAS判定方法证明三角形ACD全等于三角形BEC。由全等性质可得DC等于EC。因为CF平分角DCE，所以角DCF等于角ECF。在三角形DCF和三角形ECF中满足两边及其夹角分别相等，由SAS判定方法证明两个三角形全等。由全等可得对应角角DFC和角EFC相等，又因为两角相加等于180度，所以各自等于90度，即CF垂直DE。</p><p>　　本题证明完毕。虽本题条件多、图形复杂，但回顾推理论证过程，主要思路还是根据已知条件推导第一组三角形全等，得新的边相等关系，结合其他相等条件证第二对三角形全等，进而得关键角相等结论，最终证明两线段垂直。</p><p>　　例3考察综合利用平行线的性质、三角形全等的判定和性质、角平分线和平角的定义等知识点进行几何推理证明的能力。综合应用问题中，要善于分析条件，利用三角形全等的判定性质解决问题。</p><p>　　下面进行课堂小结，本节课回顾了5种判定三角形全等的方法。通过例题一，知道在一般三角形中判定全等要找符合判定方法的边角相等条件，注意图形隐含的公共边、公共角、对顶角等。通过例2，了解在直角三角形中，有特殊的HL判定，也满足其他4种一般三角形判定方法，关键是找合适判定条件，还知道以三角形全等为载体可推出新的边相等或角相等结论，复杂综合应用问题同样适用，例3甚至需两次推导三角形全等解决问题。几何证明通常有由因导果、执果索因两种思考路径，三角形全等综合应用问题中，要多思考、多尝试，从这两个方向着手，培养几何推理论证能力。</p><p>　　最后，布置课后作业，选自课本第45页第12题。课堂到此结束，谢谢大家观看，再见。</p>Fri, 09 Jan 2026 11:57:04 +0800https://www.zhuzhigao.com/shuxue/5472.html<p>　　师：同学们，今天我们一起学习人教版数学六年级上册第六单元例一，求百分率的内容。这是我们今天的学习目标，上一节课我们认识了百分数，你能说出下面百分数所表示的意义吗？都说对了吗？百分数表示一个数是另一个数的百分之几，百分数也叫做百分率，像中奖人数占抽奖人数的百分之几，也叫做中奖率。</p><p>　　今天我们就来学习求百分率的问题。请看，体育课上王涛和李强进行了投篮训练，请先阅读题目，说一说已知什么，要解决什么问题。</p><p>　　生：已知王涛5投3中，李强8投4中，求两人的命中率分别是多少，谁的命中率高。</p><p>　　师：读完题目，有什么疑问吗？</p><p>　　生：命中率是什么意思呢？</p><p>　　师：命中率指投中次数占投篮次数的百分之几。知道了命中率的含义，要求两人的命中率分别是多少，就是求他们投中次数占投篮次数的百分之几，把投篮次数看作单位“1”。</p><p>　　先求王涛的命中率，已知王涛投中次数是3，投篮次数是5。在解决这个新问题时，会联想到什么知识？</p><p>　　生：看到百分之几，想到百分数是分母为100的特殊分数，联想到投中次数占投篮次数的几分之几的问题。</p><p>　　师：没错，把投中次数占投篮次数的百分之几转化为求投中次数占投篮次数的几分之几就可以解决了。那会求王涛的命中率了吗？试试看。</p><p>　　生：用投中次数3除以投篮次数5，3÷5 = 3/5。</p><p>　　师：现在求出王涛的命中率了吗？求投中次数占投篮次数的百分之几，结果是一个百分数，还要将3/5改写成百分数，王涛的命中率究竟是多少呢？算一算。</p><p>　　生：3÷5 = 3/5，根据百分数是分母为100的特殊分数，先化成分母是100的分数，分母5×20 = 100，依据分数的基本性质，分子、分母同时乘20，等于60/100，写成百分数就是60%。也可以3÷5快速算得等于0.6，0.6先化成6/10，再化成分母是100的分数是60/100，也就是60%。</p><p>　　师：在求王涛命中率的过程中，主要利用了转化的思想，把求王涛投中次数占投篮次数的百分之几转化为求王涛投中次数占投篮次数的几分之几计算，再将算得的3/5或0.6转化为百分数。根据同样的方法，能计算出李强的命中率吗？试一试。</p><p>　　生：4÷8，不论是先把商写成分数还是小数的形式，运用分数的基本性质，把所得的商写成分母是100的分数都等于50%。</p><p>　　师：我们已经算出了两人的命中率，谁的命中率高呢？</p><p>　　生：60%大于50%，所以王涛的命中率高。</p><p>　　师：比较之后就可以回答问题了。在刚才解决问题的过程中，利用转化的思想，将求一个数是另一个数的百分之几的新知识转化为求一个数是另一个数的几分之几的旧知识，还遇到了把分数改写成百分数或把小数改写成百分数的问题。刚才是怎样把分数、小数改写成百分数的呢？仔细观察并试着说一说。</p><p>　　生：无论分数还是小数，改写成百分数，都要先把它们改写成分母是100的分数，再化成百分数。</p><p>　　师：接下来进一步学习怎样把小数或分数改写成百分数，试一试把下面的小数改写成百分数。</p><p>　　生：（展示改写过程）</p><p>　　师：对比这三道题，仔细观察百分数的分子和原来小数的变化，发现了什么？先看0.97是怎样改写成97%的呢。</p><p>　　生：0.97的小数点向右移动两位，写出97，再添上百分号就是97%。0.125的小数点向右移动两位是12.5，添上百分号就是12.5%。0.8的小数点向右移动两位，位数不够添0占位，是80，添上百分号就是80%。</p><p>　　师：原来把小数改写成百分数，只要把小数点向右移动两位，再添上百分号就可以了。有同学有疑问了，为什么可以这样改写呢？</p><p>　　生：将小数点向右移动两位，相当于把原数乘100，添上百分号，又相当于再除以100，得数的大小不变。以0.8为例，0.8的小数点向右移动两位相当于0.8乘了100，再添上百分号，相当于除以100，80÷100 = 80%。</p><p>　　师：分数改写成百分数，相信也难不倒同学们，一起来试试这两道题。</p><p>　　生：（展示改写过程）</p><p>　　师：分数改写成百分数，利用分数的基本性质，分子分母同时乘或除以一个0除外的数，先改写成分母是100的分数，再写成百分数的形式。2/3分母是3，乘几是100很难想到，怎么办？</p><p>　　生：可以先化成小数，用分子除以分母2÷3 = 0.66……循环，除不尽时，通常保留3位小数，取商的近似数约等于0.667，注意取了近似数要用约等号连接，0.667利用刚才小数改写成百分数的方法等于66.7%。</p><p>　　师：分数改写成百分数，具体的方法是怎样的，发现了吗？</p><p>　　生：分数改写成百分数有两种不同的情况，像7/20、13/100这类分母能直接化成100的分数，就把分数改写成分母是100的分数，再写成百分数的形式。而像2/3分母不能直接化成100的分数，先化成小数，再化成百分数，除不尽时保留三位小数取商的近似数。</p><p>　　师：通过刚才的学习，不仅知道了怎样求命中率的问题，还学会了将小数、分数改写成百分数。其实求命中率还可以写成公式形式，命中率 = 投中次数÷投篮次数×100%。能理解命中率的公式吗？投篮次数分之投中次数就表示投中次数除以投篮次数，为什么还要乘100%？</p><p>　　生：命中率是百分率的一种，在后面乘100%就相当于乘1，既保证了得数的大小不变，又能使结果是百分数。</p><p>　　师：所以求王涛和李强的命中率用公式计算，还可以写成这样的格式。生活中除了命中率，还有许多常见的百分数，想一想，生活中还知道哪些常见的百分数呢？</p><p>　　生：统计出勤情况的时候有出勤率。</p><p>　　生：新闻中经常看到有关儿童近视率的报道，儿童的近视率指近视的儿童人数占全国儿童总人数的百分之几。</p><p>　　生：生产的产品中有产品的合格率，指合格产品数占产品总数的百分之几。</p><p>　　生：还有花生的出油率，小麦的出粉率指面粉的质量占小麦的质量的百分之几。</p><p>　　师：同学们的生活经验真丰富，百分率的问题在生活中有着广泛的应用，只要善于观察，就会发现生活处处有数学。以上是我们今天学习的知识，在数学书本第84页，请同学们看书并补充书本内容。通过今天的学习，能解决下面的问题吗？把下面的小数和分数改写成百分数。</p><p>　　生：（展示改写过程）</p><p>　　师：小数改写成百分数，直接把小数点向右移动两位，再添上百分号就可以了。接着看后面3题。1/4既可以先改写成小数0.25，再改写成百分数，也可以先化成分母是100的分数，再写成百分数的形式。1/6不能直接化成分母是100的分数，先改写成小数，除不尽时通常保留三位小数，取商的近似数，注意取了近似数要用约等号连接。13/200，同学们有多种不同的改写方法，一起来看看是怎样改写的呢？在这三种改写方法中，更喜欢哪一种？分析一下每一种改法。</p><p>　　生：第一种，13÷200，计算难度较大。第二种改写的过程比较复杂。第三种既直接又比较好算。</p><p>　　师：在将分数改写成百分数时，要根据数据的特征灵活改写分数。小数、分数改写成百分数的知识在生活中经常遇到，请看下面的问题。阅读题目独立完成，六年级有学生160人，已达到国家体育锻炼标准的有120人。六年级学生的体育达标率是多少？解决这个问题，关键要理解达标率的含义。什么是达标率呢？</p><p>　　生：达标率指达标人数占参加测试人数的百分之几。</p><p>　　师：题目已知六年级有160人就是参加测试的人数，达标人数是120人，列式120÷160×100%。计算时一般先约分，约成最简分数等于3/4×100%。3/4就是0.75，所以等于0.75×100% = 75%，最后还要完整地回答。接下来请完成第3题。</p><p>　　生：（展示做题过程）</p><p>　　师：做对了吗？解决这个题目，关键也是要理解出油率的含义。</p><p>　　生：出油率指花生油的质量占花生仁的质量的百分之几。题目已知花生仁的质量是2000千克，花生油的质量是760千克，列式760÷2000×100%。不需要先把这个分数化成小数，再改写成百分数，分母2000÷20等于100，要使得分数大小不变，分子也要同时除以20，得38%。</p><p>　　师：最后还要记得回答问题。今天我们学习了求百分率的问题。解决求百分率的问题，关键要理解百分率的具体含义，再把求一个数是另一个数的百分之几转化为求一个数是另一个数的几分之几计算。还学会了把小数、分数改写成百分数的方法，小数改写成百分数，小数点直接向右移动两位，再添上百分号就可以了。分数改写成百分数，可以先化成分母是100的分数，再改写成百分数，也可以先化成小数，再化成百分数。除不尽时，通常保留3位小数，在改写时还要根据具体情况灵活转化。这是今天的课后作业。课堂到此结束，同学们再见。</p>Fri, 09 Jan 2026 11:56:58 +0800